1 . 某兴趣小组开展综合实践探究活动：
已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下：

   

【初步感知】
（1）①如图1，当点为中点时，　　　　；
②如图2，当时，　　　　；
（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长至点，使得，连接，．
，，，．
．
又，
．
又，是等边三角形．……）
【类比探究】
（2）如图3，当时，求的值；
【拓展延伸】
（3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）；
②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）．

2 . 如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．

   

(1)求的半径长；
(2)若，求证：直线是的切线；
(3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论．

3 . 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．

   

（1）①如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形______“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）
②如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．那么四边形是“垂美四边形”吗？请说明理由．
拓展探究
（2）如图3，四边形是“垂美四边形”，则两组对边与之间有什么数量关系？请说明理由．
迁移应用
（3）如图4，在中，，，．分别是射线，上一个动点，同时从点出发，分别沿和方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，连接与交于点，当以点，，，为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出的值．

4 . 【探究发现】
（）如图，在正方形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．
求证：；
【类比迁移】
（）如图，在矩形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．求证：；
【拓展提高】
（）如图，在菱形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．若，求的长．

5 . 线段绕点A逆时针旋转到，正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为，，点D、F分别在上．

(1)如图1，当时，连接、，则与的数量关系是__________，位置关系是__________．
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)在正方形绕点A旋转中，若直线与直线相交于点M，直接写出点M到直线的最大距离和最小距离．

6 . 如图1，点E是正方形的对角线上一个动点（不与重合），连接，作等腰直角，其中与相交，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接．
①是什么特殊三角形，并说明理由；
②线段与之间的有什么数量关系，并证明你的结论．

7 . 如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，．

(1)补全图形；
(2)求证：；
(3)①判断的形状，并证明．
②直接写出的大小（用表示）．

8 . 综合与实践
问题情境：
如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．

特例探究：
（1）如图，当点在边上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，发现，请说明理由；
拓展探究；
（2）如图2，点和分别为和的中点，点在外部时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，和，判断与的数量关系，并证明；
求异探究：
（3）如图3，当点在的延长线上时，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的长．

9 . 如图1，四边形是边长为4的正方形，，M是上的动点（不与点A、C重合），连接，作，交射线千点N，连接．

(1)求证：；
(2)点M在运动过程中，四边形的面积是否改变，若不变，请求出四边形面积；若改变，请说明理由；
(3)如图2，将“正方形”改为“矩形”，，，其他条件不变．
①请判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
②若把四边形的面积分为两部分，求此时线段的长．

10 . 如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，．

(1)如图1，当点D在边上时，
①根据题意，补全图1；
②直接写出：__________；
(2)如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．