1 . 如图，是等边的外接圆．

【问题原型】如图，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴，，
∴，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
∴．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．

2 . （1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值；
（2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

   

3 . （1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;
（2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积；
（3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长．

4 . 如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，点是线段上一动点，连接，，，，连接．当时，线段的最小值为（       ）

A．

B．1

C．

D．2

6 . 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接．

【特例感知】
(1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系              ，与的数量关系              ．
【类比迁移】
(2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
(3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值．

7 . 【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连结、，与交于点.

   

(1)求证：；
(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点是的内心，连结，则线段的最小值为______.

8 . 如图，在矩形中，点E在边上（不与点A，D重合），连接，．

(1)若点E是边的中点．求证：．
(2)设，，．
①求证：．
②若，，求k的值．

9 . 【综合与实践】
生活常识：一张纸的宽为21，长为，小明拿出了一张矩形纸，在长上点了一个点E，使，点F为宽边的动点，小明将沿翻折，点A落在点P处，分别延长、交纸的边于点M、N．

(1)如图1，当时，则的长为_________；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)当点N与矩形纸某一顶点重合时，请直接写出的长．

10 . 如图1，在中，，，点为的中点；动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿线段运动，点同时在线段上运动，运动过程中始终保持，当点到达点时运动就停止，设运动的时间为秒，连接、．

(1)当点在线段上时，求证：．
(2)当射线将分成面积相等的两部分时，求点运动的时间．
(3)如图2，设射线与线段的交点为，求点在从向运动的过程中，点所走过的路径长．