1 . 如图，点 P 是正方形内部的一个动点，且是以 为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论：

①
②;
③当时，;
④当时，
其中结论正确的是（     ）

A．①②

B．③④

C．①④

D．②③

2 . 【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，______度，之间的数量关系是______．

【问题延伸】
（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是______；
②线段的数量关系是______；
请任选一个你的猜想说明理由．

【问题解决】
（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标．

3 . 如图，和都是等腰直角三角形，，，，，分别交于点，．

图2

(1)如图，当点为中点时，此时点与点重合，求的长度；
(2)如图，当点与点都在边上，且不与点，重合，请问，，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)当点在直线上时，（2）中的结论是否还成立？请说明理由？若，请直接写出的长度．

4 . 已知为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在上，连接．
   
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点G在上，连接交于点H，若，求证： ；
(3)如图3，若，点P在直线上，连接，将沿着翻折至 所在的平面内，得到，连接，取的中点T，连接，当取最大时，求的面积．

5 . 【问题提出】
（1）如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，则______；（填“”“”或“”）

【问题探究】
（2）如图2，在中，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，求证：与互补．

6 . 综合与实践
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形是正方形，点在线段上，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点，使，连接．

   

数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②猜想线段与之间的数量关系，直接写出结论；
深入探究：（2）奋进小组将正方形从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长．

7 . 【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，、都是等腰直角三角形，，画出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．

   

数学课上，同学们连结便解决了此问题，随后数学老师追问：与具有怎样的数量关系？两组同学给出两种不同方法：
甲组：由于是由绕着点逆时针旋转后得到的，所以与为对应线段，所以．
乙组：根据题意，我们可以证明，因此．
请结合图①写出乙组证明方法的完整过程．
【类比探究】若将【教材呈现】中的等腰直角三角形换成等边三角形，上述结论是否仍然成立？
如图②，、都是等边三角形，连结、、．
①则与的数量关系是______．
②若，则长为______．
【拓展应用】、都是等边三角形，，若将绕着点旋转一周，在运动过程中，点到直线的距离设为，则的取值范围是______．

   

8 . 如图，等边三角形边长为2，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到．连接与交于点．

(1)若，求线段的长；
(2)连接．
①记点的运动路径为．试判断与的位置关系；
②在点在运动的过程中，是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．

9 . 阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．

四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，设与不平行，分别为的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 方法一：如图2，连接，取的中点，连接． 点，点分别是和的中点， ，且．（依据） 同理：，且． ． 在中，． 即． 方法二：如图3，连接并延长至点，使，连接． …

任务：
（1）填空：材料中的依据是指______；
（2）将方法二的证明过程补充完整；
（3）如图4，在五边形中，，．若点分别是边的中点，则线段长的取值范围是______．

10 . 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．

【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．