1 . 如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值；
(3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：．

2 . 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．

(1)①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；
②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；
(2)分别交、于点、．
①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；
②当时，求圆心角的正切值．

3 . 已知，以三边为斜边向外作等腰直角三角形．

(1)如图1，当为等边三角形时，
①填空：           ；
②证明：．
(2)如图2，当为直角三角形，时，证明：．

4 . 如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（       ）

A．的周长	B．的周长
C．的周长	D．的周长

5 . 如图，中，为中点，以为圆心，长为半径作，交与点E．M为上一点，连接，将绕A点顺时针旋转的度数，得线段、连接、．

(1)求证：
(2)当点M与点重合时，求证：与相切；
(3)面积的最大值为___________________．

6 . 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．

(1)如图1，当点在线段上时．
①用等式表示与的数量关系；
②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．

7 . 如图，点为正方形的边上一点，以为边在正方形外作正方形，的延长线交对角线于点．

(1)如图，连接，，判断四边形的形状；
(2)如图，自点作于点，连接，，求证：；
(3)如图3，若的延长线恰好经过点，求的值．

8 . 综合与实践
问题情境：
如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H．
数学思考：
（1）线段与的数量关系为      ，位置关系为      ；
猜想证明：
（2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图③，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，请直接写出线段的长．

9 . 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案	方案①	方案②
测量示意图	图①	图②
测量说明	如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度	如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离
测量结果	，，	，，

请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．

10 . 如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长．