1 . （1）已知：在矩形中，E是边上的一点，，．
①如图1，若，则______；（填写“”“”或“”）
②如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）已知：在中，E是边上的一点，．
①如图3，若，，求证：；
②如图4，若，，，请直接写出的长．

2 . 【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．
（1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）
【类比探究】
（2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）连接并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小；
（4）已知，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案．

3 . （1）【基础巩固】如图1，在等腰中，，若，则__________；
（2）【问题探究】如图2，在四边形中，已知，，．求证：；
（3）【解决问题】如图3是四边形休闲区域设计示意图，点P为线段上一定点，为该四边形休闲区域内的两条小路，且的长度相等，均为，．为了方便市民，现规划在四边形休闲区域外面修一个凉亭E，且满足，同时再修两条小路和，是否存在一种规划方案，使得四条小路的总长度（即线段之和）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

4 . 在中，，E，F，D分别是上的点，，．

(1)求的度数（图1）；
(2)若点G为的中点（图2），其它条件不变，请探究与是否垂直；
(3)将（1）中绕点D逆时针旋转一定的角度得到，如图3所示，G为线段的中点，吗？请说明理由．

5 . 为等腰直角三角形，，， 线段 绕点旋转至线段，点的对应点为，连接．

(1)如图1，若在外部，且，交 于点，若．求 的长度；
(2)如图2，若在内部，延长 交 于点，延长交 于点，，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，为中点，连接并延长交 于点，求证：；
(3)如图3，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接 、．为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，，当最小时，直接写出的面积．

6 . 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（     ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

7 . 如图，是等边的外接圆．

【问题原型】如图，连结，延长交弦于点，交于点．连结、．求证：；
【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形，
∴，，
∴，则为等边三角形，
同理可得：也为等边三角形，
∴．
【方法应用】如图2，若为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若的半径为，且为上一点，且，则四边形的面积的是______．

8 . （1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;
（2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积；
（3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长．

9 . 如图，点是线段上一动点，连接，，，，连接．当时，线段的最小值为（       ）

A．

B．1

C．

D．2

10 . 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接．

【特例感知】
(1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系              ，与的数量关系              ．
【类比迁移】
(2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
(3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值．