1 . （1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值；
（2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

   

2 . 如图，正三角形边长为，点为边上一个动点（不与点，重合），以为边向下作正三角形，连结并延长交于点，则的度数为______；当时，的值为____________．

3 . （1）初步探究：
如图1，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接．若，，求的面积．

（2）深入探究：如图2，正方形为一个艺术演艺规划区域，．在正方形内部或边上，作如下规划：点B为入口，点E为中点，点F在边上，为演员化妆区，；点P在上，，点Q在上，等边为表演舞台，和为观看区域．请问观看区域和面积之和是否为定值？如是，说明理由并求出定值；如不是，说明理由．

4 . 剪纸在中国是历史悠久，并且流传很广的一种民间艺术形式．剪纸虽然制作简便，造型单纯，但由于其能够充分反映百姓的生活内涵，具有浓郁的民俗特色，因此是中国众多民间美术形式的浓缩与夸张．学完全等和相似以后，一个小组的同学拿着一张边长为5的正方形纸片，在边上取一点E，使得，过点E所在直线剪掉一个直角三角形，点E所在直线交于点F，过点F所在直线再剪掉一个直角三角形，使得剪掉的两个三角形全等．
甲同学认为只有一种剪法；乙同学认为有两种剪法；丙同学认为有三种剪法
(1)你认为哪位同学的说法是正确的________（填“甲”或“乙”或“丙”），请在下图中画出一种正确的画法，并直接写出所画图中的长度________．

(2)按照上面的条件，使剪掉的两个直角三角形相似（点F不与D重合），过点F所在直线交于点G，设．
①求出y与x的函数关系式：②当最大时，则________．

(3)将一张矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片；其中，则________________．（画出示意图）

5 . 综合与实践
数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：
如图1，于点B，于点D，P是上一点，．

①若，则与的关系为         ．
②若，且，则        ．
(2)构造应用
①如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出        °．

②如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K，求证：K是中点，并直接写出与的数量关系：      ．

(3)综合应用
如图4，在矩形中，，点E是边上的动点（点E不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，过点B作，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当值最小时的值为：       ．

6 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．

7 . 综合探究
如图，在中，，点D在以为直径的圆上， 连接、， ，点E、F分别在、的延长线上，且，．

(1)求证：四边形是正方形．
(2)点M是延长线上一点，连接，若， 求证：．
(3)延长、交于点G，连接，若，，求的长．

8 . 如图中，，垂足为D，，若，，长为y，则y与x的函数关系式为________．

二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以下想法：①小明：由，想到构造等腰三角形，把以为轴翻折，到，可设为，则为，通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；
②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出y和x的数量关系．
(1)问题：请按照上面两名同学的思路，证明：
①；
②写出y和x的数量关系式．
(2)问题拓展：
矩形中，E为边上一点，连接，在上取一点F，，，若，求的值．

9 . 综合与实践
问题情境：在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．

探究实践：
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
探究发现：
（2）如图2，连接，发现三条线段，，之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
探究拓广：
（3）如图3，连接，，若正方形的边长，请直接写出面积的最大值．

10 . 如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．

(1)求证：；
(2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H．
①求证：；
②当时，求的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为            ．