1 . 在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”．

(1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点___________重合；
②点A的横坐标的最小值为___________；
(2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m；
(3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．

2 . 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

4 . 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

   

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是          ，若，则的长为         ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

5 . 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作于点G，若，，求的长．

6 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，．

(1)分别求出点、、的坐标．
(2)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 在等腰直角中，，，过点的垂线．点为直线上的一个动点（不与点重合），将射线绕点顺时针旋转90°交直线于点．
   
(1)如图1，点在线段上，依题意补全图形；
①求证：；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
(2)点在线段的延长线上，直接写出线段之间的数量关系．

8 . 如图，在中，，于点D，于点E，连接.

(1)依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明；
(2)用等式表示线段，，的数量关系；并证明.

9 . 在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作于点E，射线CE交直线AB于点F，连接BE．

(1)如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合），
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时（），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．

10 . 如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F．

(1)求证：；
(2)若，求DF的长．