1 . 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A．
B．
C．
D．
(2)在
中，
，
，则
边上的中线
长度的取值范围是________．
(3)如图3，在四边形
中，
，
平分
，且
是的中点，
，
，求
的长．
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．如图1．在 中，平分 ，且 恰好是边的中点．求证： ． 证明：如图2，延长 至点 ，使 ．∵ 是边的中点∴  ．∵  ，，∴   （依据）．∴，  ．∵ 平分，∴  ，∴  ，∴  ，∴ ． |
(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A．
B． C． D． (2)在
中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．(3)如图3，在四边形
中，，平分，且是的中点，，，求的长．
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2 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形中，
，点E在
上，
交
于点F，若
，，
，求
的长．
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
| 我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”，类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 如图，在梯形 中，，E，F分别是两腰 的中点， 的延长线交于点G．求证：  ． 证明：∵ ，∴  （依据）．∵F为DC的中点， ∴  ．在  与 中， ，∴  ，∴  ， ．∵E是AB的中点，F是AG的中点， ∴EF是  的中位线，∴  ．∵ ，∴ ． |
(1)填空：材料中的依据是______；
(2)如图，在梯形
中，，点E在上，交于点F，若，，，求的长．
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3 . 如图，
是矩形的对角线．
(1)作的垂直平分线
交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）所作的图形中，连接
，求证：四边形
是菱形．
是矩形的对角线．(1)作
的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；(2)在（1）所作的图形中，连接
，求证：四边形是菱形．
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4 . 综合与探究
初步探索
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且
，垂足为P．求证：
．请完成解答过程：
类比探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，
，，点E，F分别在边AB，BC上，且，垂足为P．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出CE与DF的数量关系．
拓展延伸
（3）如图③，在
中，
，，
，E为AB的三等分点，过点B作
交AC于点D，请直接写出BD的长．
初步探索
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且
，垂足为P．求证：．请完成解答过程：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ ， ________．∴  ．∵ ，∴ ________ ．∴  ．∴  ．∴  （________）∴ ． |
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（2）如图②，在矩形ABCD中，
，，点E，F分别在边AB，BC上，且，垂足为P．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出CE与DF的数量关系．拓展延伸
（3）如图③，在
中，，，，E为AB的三等分点，过点B作交AC于点D，请直接写出BD的长．
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5 . 如图，在中，是边上一点，是的中点，过
作的平行线交
的延长线
，且
，连接
．
(1)求证：；
(2)如果，试判断四边形
的形状，并证明你的结论；
(3)当满足______时，四边形为正方形（直接写出）．
中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接．(1)求证：
；(2)如果
，试判断四边形的形状，并证明你的结论；(3)当
满足______时，四边形为正方形（直接写出）．
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2023-10-19更新
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66次组卷
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7卷引用：山西省晋中市平遥县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
山西省晋中市平遥县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题2016届陕西省西安市蓝田县高堡中学九年级上学期第一次月考数学试卷山东省青岛市青岛第四十四中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题湘教版八年级下数学第2章四边形 质量评估试卷山东省聊城市莘县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题湖南省常德市鼎城区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题18.22 正方形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
6 . 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
学习任务：
(1)分别写出上述证明过程中的“依据
”和“依据
”．
依据：______．
依据：______．
(2)在上面证明过程的基础上，求证：四边形
是平行四边形．
(3)请结合材料和
中的证明过程，完成该定理的证明．
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
| 斯坦纳一雷米欧斯定理 对于命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，利用全等三角形的知识很容易获得证明，  年德国数学家雷米欧斯 在他给斯图姆 的信中提出了它的逆命题“如果三角形中两内角平分线相等，三角形必为等腰三角形”，并要求给出这一命题的几何证明 后来瑞士几何学家斯坦纳 给出了证明，因此把这一定理叫做斯坦纳 雷米欧斯定理．下面给出该定理的一种证明方法  不完整 ：已知：如图，在 中， ，分别是 ， 的平分线，且 ．求证： ．证明：如图，作  ，取 ，连接，且使点， 在的两侧，过点作 ，垂足为 ，过点作 ，交 的延长线于点 ． ， ， ， ． ， ， ， ． ，依据 ， ， ， ， ．依据 |  |
(1)分别写出上述证明过程中的“依据
”和“依据”．依据
：______．依据
：______．(2)在上面证明过程的基础上，求证：四边形
是平行四边形．(3)请结合材料和
中的证明过程，完成该定理的证明．
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名校
7 . 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
(3)若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，则AM= ．（填答案）
(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
(3)若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，则AM= ．（填答案）
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2022-09-30更新
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197次组卷
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9卷引用：山西省晋中市昔阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
山西省晋中市昔阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题山东省荣成市石岛实验中学2018-2019学年八年级下学期期中数学试题【校级联考】山东省临沂市平邑县2018--2019学年八年级下学期期中数学试题山东省德州市夏津县2018-2019学年八年级下学期期中数学试题重庆市九龙坡区石桥铺片区2019-2020学年八年级开学定时作业数学试题辽宁省抚顺市抚顺市第二十二中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题海南省省直辖县级行政单位昌江黎族自治县昌江思源实验学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（已下线）数学（福建专用B卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷山东省淄博市淄川区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
8 . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC=BF．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB的垂直平分线MN，MN分别与AB交于点D，与BC交于点E．
②过点B作BF垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC=BF．
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2021-05-28更新
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266次组卷
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4卷引用：2021年山西省孝义市中考第二次模拟数学试题
2021年山西省孝义市中考第二次模拟数学试题（已下线）2022年山西省中考数学变式题16-19（已下线）沪科版2021-2022学年八年级数学上册第15章 专题16 轴对称图形与垂直平分线(专题强化-提高)四川省乐山市沐川县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
9 . 问题情境：
中，
于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段
绕点顺时针旋转
得到线段
，连接
交线段于点，交于点，连接
．
特例分析
（1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：
；
②用等式表示线段
与之间的数量关系为：________；
拓展探究
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现
．请你证明；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且
时，
的值为________；
推广应用
（4）当点在射线上运动时，若
，则的值为_______（用含
，
的式子表示）
中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接．特例分析
（1）如图1，当点
与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：①求证：
；②用等式表示线段
与之间的数量关系为：________；拓展探究
（2）如图2，当点
在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明；（3）如图3，当点
在线段的延长线上，且时，的值为________；推广应用
（4）当点
在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示）
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真题
名校
10 . 如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：
；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
①求证：
；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
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2019-07-02更新
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1416次组卷
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26卷引用：【万唯原创】2021年山西省面对面-练册第四章5
（已下线）【万唯原创】2021年山西省面对面-练册第四章5四川省巴中市2019年中考数学试题（已下线）专题05 三角形《备战2020年中考真题分类汇编》（四川）（已下线）【万唯原创】2020年河南省中考数学试题-河南试题正文-第一部分第四章4下（已下线）【万唯原创】一线三等角模型·满分特训（二）山西省运城市万荣县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年八年级上学期期中数学试题山东省枣庄市台儿庄区2019-2020学年八年级上学期期中数学试题山东省临沂市河东区2019-2020学年八年级下学期期末考试数学试题陕西省榆林市第一中学分校2020-2021学年八年级上学期10月月考数学试题广东省深圳市龙岗区南湾学校2020-2021学年八年级上学期10月联考数学试题甘肃省张掖市张掖育才中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题福建省三明市泰宁县2019-2020学年八年级上学期期中数学试题辽宁省朝阳市北票市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（已下线）专题1.15 《勾股定理》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题1.18 《勾股定理》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）山东省烟台市牟平区（五四制）2021-2022学年七年级上学期期中数学试题江苏省南京市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题辽宁省朝阳市北票市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题山东省东营市垦利区2022-2023学年七年级上学期期中数学试题北京市一零一集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷河南省商丘市夏邑县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题河南省周口市郸城县实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题1.4 探索勾股定理（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）江苏省兴化市楚水初级中学2023-2024学年八年级上学期第一次阶段达标评价数学试题（已下线）专题3.4 勾股定理（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）
