1 . 【感知】如图①，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）．
【探究】如图②，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：．
【应用】如图③，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，连接，若，的面积为1，则四边形的面积为________．

   

3 . 【实践与探究】
操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与AM重合，折痕为，则______°．
操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则______度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设与的交点为点P，求证：；
（2）若，则线段的长为______．

4 . 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长．

问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究

（1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______．
（2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）．

5 . （1）【探究】如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作于点O，交BC于点F．求证：；
（2）【应用】如图②，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，直线FG分别交AD、BC、DE于点F、G、O，将正方形ABCD沿FG折叠，使点D的对称点与点E重合，点C的对称点为．若，求线段FG的长．

6 . 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．求证：PD＝PE，图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．


(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°．求证：PM＝PN
(3)如图③，ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DC=，直接写出ABD的面积．

7 . 探究：如图①，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．求证：．
应用．如图②，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．探索线段AD、BE、DE之间的数量关系，并证明．

8 . 能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点．
【探究】求证：四边形是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．

【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若，则四边形的面积为______．

9 . 【探究】如图①，是等边三角形，点是边上任意一点(不与点、重合)，点在边上，，求证：．
【应用】如图②，在中，，点是边上一点(不与点、重合)，，点在边上．若，，求的长．
　　　　

10 . 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．