1 . 已知，如图，四边形 ABCD，∠A=∠B=Rt∠．

（1）尺规作图，在线段 AB上找一点 E，使得 EC=ED，连接 EC， ED（不写作法，保留作图痕迹）；       
（2）在（1）在图形中，若∠ADE=∠BEC，且CE=3，BC=，求 AD的长.

2 . 如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点．

(1)连接，求证：．
(2)若．求证：．
(3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论（请补全图形，再解答）

4 . 【初步探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，，点E是边BC上一点，，，连接AE、DE。判断的形状，并说明理由。
【解决问题】
（2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，，要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法。
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点C在第一象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是_______.

                 

5 . 如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．
   
(1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形：
(2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合；
(3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由．

6 . 类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

   

(1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
(2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．

7 . 四边形为正方形，点E为射线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，当点E在线段上时．
①求证：矩形是正方形；
②求证：；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出之间的数量关系；
(3)直接写出的度数．

8 . 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．