1 . 的所对边分别是a，b，c，若满足，则称为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．

【特例感知】如图1，若是类勾股三角形，为勾股边，且，是中线，求的长；
【深入探究】如图2，是的中线，若是以为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断与的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形中，与都是以为勾股边的类勾股三角形，M，N分别为的中点，求线段的长．

2 . 问题探究：
（1）在图1和图2中，ABCD，AD⊥BC于点O．
①如图1，若点O是BC的中点，AD＝6，BC＝8，则AD²＝____，BC²＝____，（AB+CD）²＝_____；
②如图2，AO：DO＝1：3，AO＝3，BO＝4，则AD²＝_____，BC²＝_____，（AB+CD）²＝_____；
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AD²，BC²，（AB+CD）²三者之间的关系．
归纳证明：
（3）请利用图2证明你发现的关系式；
应用结论：
（4）如图3，在矩形ABCD中，E，F两点均在AD边上，BE⊥CF交于G点，EF：BE＝1：4，CF＝3，BC＝4．求证：CG＝CD；
拓展应用：
（5）如图4，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD交AB于点E，交BD于点F，AE＝5，BD＝10，EC＝15，求BC的长．

5 . 在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．

   

(1)当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________；
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．