1 . 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边
中，点D是
边上任意一点，连接
，过点A的射线
交
于点E，交于点F，当
时，则必有
．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规在图的基础上作，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
(2)证明：∵为等边三角形，
∴
，______①
在
和
中，
，
∴
，
∴______③，
又∵
∴
______④，
∴．
中，点D是边上任意一点，连接，过点A的射线交于点E，交于点F，当时，则必有．为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作，再通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规在图的基础上作
，交于点E，交于点F．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）(2)证明：∵
为等边三角形，∴
，______①在
和中，，∴
，∴______③，
又∵
∴
______④，∴
．
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2024-03-03更新
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67次组卷
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3卷引用：重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
重庆市铜梁区铜梁区巴川初级中学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题2023学年重庆市铜梁区巴川初级中学校上学期一阶考试九年级数学模拟试题（已下线）特色题型专练01 尺规作图-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）
2 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形
是垂等四边形，点
的坐标为
，点
的坐标为
，求点
的坐标；
（2）如图2，正方形
的边长为
，点
在边上，点
在边上，点
在边上，点
在边
上，若四边形满足
，请直接写出四边形
面积
的取值范围；
（3）如图3，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，点在点的左侧，
、
两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且
．设点的横坐标为
，点的横坐标为
，且
，求的值．
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系
中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
（2）如图2，正方形
的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积的取值范围；
（3）如图3，已知抛物线
与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求的值．
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3 . 【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，
，若
，求的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：
_____．
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，
为的外角
的平分线，交的延长线于点
，则线段
有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形中，
平分
，求的长．
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，
是的高，，若，求的长．小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将
沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．……（1）结合小明同学的想法，请直接写出：
_____．【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，
为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形
中，平分，求的长．
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2024-01-27更新
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200次组卷
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2卷引用：2024辽宁省大连市中考一模考前数学调研题
名校
4 . 在学习正方形的过程中，小军发现一个规律：在正方形ABCD中，E为AD边上任意一点，连接BE，若过点A的直线
，交CD于点G，则必有
．为了验证此规律的正确性，小军的思路是：先利用下图，过点A作出BE的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小军的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线AG，交BE于点F，交CD于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
① 
，
，
∴
．
∵ ②
∴
，
∴
，
∴ ③ ，
在和
中
∴
．
∴．
，交CD于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小军的思路是：先利用下图，过点A作出BE的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小军的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规在下图的基础上过点A作BE的垂线AG，交BE于点F，交CD于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
① ，，∴
．∵ ②
∴
，∴
，∴ ③ ，
在
和中∴
．∴
．
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名校
5 . 在学习正方形的过程中，小明发现一个规律：在正方形中，E为上任意一点，连接
，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹）
(2)证明：∵四边形是正方形
∴ ①，
∴
∴ ②
∵
∴，
∴ ③
在和中
∴
（ ⑥ ）
∴
中，E为上任意一点，连接，若过点A的直线，交于点G，则必有．为了验证此规律的正确性，小明的思路是：先利用下图，过点A作出的垂线，再通过证全等得出结论．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
，交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹）(2)证明：∵四边形
是正方形∴ ①
，∴
∴ ②
∵
∴
，∴ ③
在
和中∴
（ ⑥ ）∴
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2023-08-23更新
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208次组卷
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2卷引用：重庆市西南大学附属中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
20-21八年级上·北京昌平·期末
名校
6 . 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段
的延长线上，且
，点D从B运动到C的过程中，
周长的变化规律是（ ）
是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ）| A．不变 | B．一直变小 | C．先变大后变小 | D．先变小后变大 |
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2023-04-22更新
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189次组卷
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16卷引用：第19讲 等腰三角形（讲练）-2021年中考数学一轮复习讲练测（北京）
（已下线）第19讲 等腰三角形（讲练）-2021年中考数学一轮复习讲练测（北京）（已下线）必刷卷05-2021年中考数学考前信息必刷卷（河北专用）北京市昌平区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题福建省福州市鼓楼区福州杨桥中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题福建省福州市福州杨桥中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题河南省信阳市固始县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校(东校区)2020-2021学年七年级下学期期中数学试题河南省郑州市中原区郑州外国语中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题辽宁省沈阳市2022-2023学年八年级下学期数学阶段测试试题（已下线）期末难点特训（一）选填压轴50道-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）福建省福州市鼓楼区杨桥中学2023-2024学年八年级上学期期中模拟数学试题（已下线）江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期数学独立作业11.3北京大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题福建省福州市平潭一中教研片2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（已下线）八年级数学上学期期中模拟卷（提高卷）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）浙江省杭州市滨江区江南实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
7 . 在中，
，
，直线经过点A，过点、分别作
的垂线，垂足分别为点、.
(1)特例体验：如图①，若直线
，
，分别求出线段
、
和
的长；
(2)规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线从图①状态开始绕点A旋转
，请探究线段、和的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转
，与线段相交于点，请再探究线段、和的数量关系并说明理由.
中，，，直线经过点A，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、.(1)特例体验：如图①，若直线
，，分别求出线段、和的长；(2)规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线
从图①状态开始绕点A旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线
从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探究线段、和的数量关系并说明理由.
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2022-11-21更新
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74次组卷
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2卷引用：江西省赣州市章贡区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题
名校
8 . 【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【材料理解】
(1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若
，，
，则
，请证明小高的发现．
【深入探究】
(2)如图2，
，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】
(3)①如图3，在四边形中，
，
，
，
与
的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形中，
，若
，
，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．
【材料理解】
(1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若
，，，则，请证明小高的发现．【深入探究】
(2)如图2，
，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；【延伸应用】
(3)①如图3，在四边形
中，，，，与的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；②如图4，在四边形
中，，若，，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．
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2023-01-09更新
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491次组卷
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3卷引用：山东省淄博市张店区张店区第九中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
9 . 某数学兴趣小组对一个数学问题的探究过程如下，请仔细阅读，并解答相应问题．
【问题】如图，中，
，
cm，D为边上一个动点，连接，过点C作
，垂足为点E，F为线段
上一点，且
，过点F作
交直线
于点G，判断线段，，
的数量关系．
【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段，，的长度随的长度变化而变化，但他们并没有发现明显规律．
【实验】他们借助电脑软件根据点D在
上的不同位置，测量线段，，，的长度，得到下表的几组对应值．
请根据以上信息，完成下列问题．
【猜想】（1）线段，，的数量关系为____．
【证明】（2）请证明上述猜想．
【拓展】（3）上述问题中，若D为射线上的一个动点，F为射线上的一个动点，其他条件不变，当
cm时，直接写出的长．
【问题】如图，
中，，cm，D为边上一个动点，连接，过点C作，垂足为点E，F为线段上一点，且，过点F作交直线于点G，判断线段，，的数量关系．【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段
，，的长度随的长度变化而变化，但他们并没有发现明显规律．【实验】他们借助电脑软件根据点D在
上的不同位置，测量线段，，，的长度，得到下表的几组对应值． cm | 1.00 | 2.00 | 3.00 | 4.00 | 5.00 |
 cm | 0.98 | 1.85 | 2.57 | 3.12 | 3.54 |
 cm | 0.20 | 0.74 | 1.54 | 2.50 | 3.54 |
 cm | 0.78 | 1.11 | 1.03 | 0.62 | 0 |
【猜想】（1）线段
，，的数量关系为____．【证明】（2）请证明上述猜想．
【拓展】（3）上述问题中，若D为射线
上的一个动点，F为射线上的一个动点，其他条件不变，当cm时，直接写出的长．
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10 . 在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：
(1)【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称
是的“双中线”，
．则
______．
(2)【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称
是正方形的“双中线”，若
．则的长为______（按图示辅助线求解）；
(3)在图3中，是矩形的“双中线”，若
，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；
(4)【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若
．求出
的周长，并说明理由？
(1)【提出问题】如图1，在
中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______．(2)【探究规律】在图2中，E是正方形
一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）；(3)在图3中，
是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；(4)【拓展应用】在图4中，
是平行四边形的“双中线”，若．求出的周长，并说明理由？
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2023-01-17更新
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125次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市和平区宇光中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题
