1 . 如图，在平行四边形中，对角线，并于点，经过点的直线交于，交于F．

(1)求证：．
(2)连接，，则与满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由．

2 . 【实践操作】
在矩形中，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，若点P落在矩形的边上（如图①所示），当点P与点A重合时，；当E与点A重合时，；
​【初步思考】
当点E在上，点F在上时（如图②所示），求证：四边形为菱形；
【深入探究】
当点P落在矩形的内部（如图③所示），且点E、F分别在边上时，则的最小值为             ；
【拓展延伸】
若点F与点C重合（如图④所示），点E在上，线段与线段交于点M，，则线段的长为             ．

3 . 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为．

(1)写出线段的长（用含的式子表示）．
(2)当平分菱形面积时，求的值．
(3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

4 . 如图，四边形是边长为的正方形，点在直线上，若，连接，过点作，交直线于点，连接，点是的中点，连接，则________ ．

   

5 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

6 . 如图，在中，对角线，交于点O，E是上一点，连接并延长，交于点F．连接，，平分．求证：四边形是菱形．

7 . 如图，在中，，，若，求证：．

9 . 在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．

【感知】如图①，若点F与点C重合，，则的长度为____________；
【探究】如图②当点F在边上时．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的度数．

10 . 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．
求证：．

分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．
（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．