1 . 已知在中，，点D为边上一动点，以为边，在的右侧作等边三角形．

   

(1)如图（1），当平分时，四边形是______形．
(2)如图（2），过点E作于点F，与具有怎样的关系？F为的中点吗？说明理由．可得出结论，无论运动到何处，点E在的何处？
(3)如图（3），若，利用（2）中结论．
①当D为的中点时，过点E作于点G，求的长；
②点D从点B运动到点C，则点E所经过的路径长为多少？

2 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．

3 . 在数学兴趣小组活动中，同学们由一道有关正方形中两条互相垂直的线段的数量关系的问题出发，进行了一系列类似的数学探究活动，请你解决以下问题．
【母题溯源】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，，垂足为点G，则        ；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点E是上一点，，垂足为点G，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求的值；

4 . （1）计算：；
（2）如图，在中，，，垂足分别为、．求证：．

6 . 小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，于点，于点，若爸爸到的水平距离，，（参考数据：，，）．

(1)求证：；
(2)求妈妈到的水平距离（即的长）；
(3)求秋千的起始位置距地面的高．

7 . （1）计算：．
（2）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，求证：．

8 . 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

   

9 . 问题提出
在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？
爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．
类比探究
（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．
②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．

10 . 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．已知：如图1，D，E分别是的边，的中点．求证：，且．

（1）如图2，小明在研究了课本的证法后，想到了“延长至点F，使，连接”．
请你按照小明的提示完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图3，在四边形中，，，E，F分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，则的长是        ．