1 . 如图，和是两条互相垂直的公路，是两个村庄，使到两条公路的距离相等，且点到两个村庄的距离相等，请运用尺规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．

2 . 如图，中，为钝角．

(1)尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，；
(2)若，求的度数．

3 . 如图，在中，分别垂直平分．

(1)若，试求出的周长；
(2)若，试求的度数；
(3)在（2）中，若无的条件，你能求出的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．

4 . 如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接．

(1)求的度数；
(2)证明：；
(3)连接，若的周长为12，求的最小值．

5 . 如图，在中，，请根据要求完成以下任务：

   

(1)利用直尺与圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；
(2)利用直尺与圆规，作的角平分线，交于点；
(3)若，求的度数．

6 . 已知：平行四边形，
求作：菱形，使点E、F分别在边上．
下面是小明设计的尺规作图过程
作法：如图，

①连接；
②分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
③连接，分别与交于E、F、O三点；
④连接．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵__________，___________．
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在和中，

∴．
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形是菱形．（______________）（填推理的依据）

7 . 在矩形中，是直线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．

(1)如图1，分别是中点，当     时，四边形是矩形．
(2)若在点运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动，点以每秒1个单位长度的速度从出发，沿折线运动．
①如图2，作的垂直平分线交于点，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求值；
②如图3，在异于所在矩形边上取，使得，顺次连接，则四边形周长的最小值是      ．

8 . 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：平行四边形，使．
作法：如图，

①分别以A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线；
③以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接；
④以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
(1)的大小为______________；
(2)判定四边形是平行四边形的依据是______________________________．

9 . 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒．

(1)______（用的代数式表示）；
(2)当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值；
(3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

10 . 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．

(1)若边上的“中高距”为0，则的形状是______三角形；
(2)若，，，求边上的“中高距”．