1 . 如图，正方形的边长为8，点E是的中点，垂直平分且分别交，于点H，G，求的长为多少．

2 . 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．

3 . 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接．

(1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________；
(2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明；
(3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值．

4 . 如图，在中，是边上的一点，且，若，，求证：是直角三角形．

5 . 下面是证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种方法，完成证明．

直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，是斜边上的中线．求证：．
方法一：（构造中位线法）证明：如图，取边的中点E，连接．	方法二：（倍长中线法）证明：如图，延长到点E，使，连接．

6 . 如图，在中，边的垂直平分线交于D，交于边的垂直平分线交于E，交于N，与相交于点F．
(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数；

7 . 下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，请根据提示分别完成证明．

性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：．
方法一 证明：如图，延长至点D，使得，连接．	方法二 证明：如图，取的中点D，连接．

8 . 如图，在矩形中，．

(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若，求的长度．

9 . 如图，已知BD是矩形的对角线．

(1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于、（保留作图痕迹，不写作法和证明）：
(2)连接、，求证：四边形是菱形．
(3)若，，求的长．

10 . 如图1，在中，，，点、分别在边、上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、．

(1)如图2，当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)连接，在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值及此时旋转角的度数．