1 . 如图,在平面直角坐标系中,点,,点是轴正半轴上一动点.
(1)求证:轴是线段的垂直平分线;
(2)以为边作等边,点在第一象限,作射线交轴于点,设;
若,求的度数(用含有的式子表示);
探究线段与的数量关系,并证明.
(1)求证:轴是线段的垂直平分线;
(2)以为边作等边,点在第一象限,作射线交轴于点,设;
若,求的度数(用含有的式子表示);
探究线段与的数量关系,并证明.
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2 . 定义:若P为内一点,且满足,则点P叫做的费马点.
(1)如图1,若点O是等边的费马点,且,则这个等边三角形的高的长度为______;
(2)如图2,已知,分别以为边向外作等边与等边,线段交于点P,连接,求证:点P是的费马点;
(3)应用探究:已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示,能否在合适的位置建一个污水处理站Q,使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小?如果能,请你说明该如何确定污水处理站Q的位置,并证明该位置满足设计要求.
(1)如图1,若点O是等边的费马点,且,则这个等边三角形的高的长度为______;
(2)如图2,已知,分别以为边向外作等边与等边,线段交于点P,连接,求证:点P是的费马点;
(3)应用探究:已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示,能否在合适的位置建一个污水处理站Q,使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小?如果能,请你说明该如何确定污水处理站Q的位置,并证明该位置满足设计要求.
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3 . 综合与实践
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
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4 . 如图,在中,,,M为中点,D为射线上一动点,在右侧作等边,直线与直线交于点F.
(1)如图1,当点D与点M重合时,请直接写出与的数量关系:______;
(2)如图2,当点D在线段上,求证:点E在的垂直平分线上.
(3)点D在射线运动过程中,当为等腰三角形时,请求出的度数.
(1)如图1,当点D与点M重合时,请直接写出与的数量关系:______;
(2)如图2,当点D在线段上,求证:点E在的垂直平分线上.
(3)点D在射线运动过程中,当为等腰三角形时,请求出的度数.
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22-23八年级上·陕西西安·阶段练习
5 . 如图1,在中,,,,点为边上一动点,将沿直线折叠,得到,请解决下列问题.
(2)连接,当是以为底边的等腰三角形时,请在图2中画出相应的图形,并求出此时点F到直线的距离;
(3)如图3,为边上一点,且,连接,当为直角三角形时, .(请写出所有满足条件的长)
(1)______;当点F恰好落在斜边上时,______;
(2)连接,当是以为底边的等腰三角形时,请在图2中画出相应的图形,并求出此时点F到直线的距离;
(3)如图3,为边上一点,且,连接,当为直角三角形时, .(请写出所有满足条件的长)
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2023-10-03更新
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214次组卷
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7卷引用:专题18.14 勾股定理(折叠问题)(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
(已下线)专题18.14 勾股定理(折叠问题)(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)(已下线)专题17.14 勾股定理(折叠问题)(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)陕西省西安市碑林区铁一中2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题陕西省西安市莲湖区铁一中2022—2023学年八年级上学期第一次月考数学试题陕西省西安市铁一中2022-2023学年八年级上学期第一次月考月考试题21-直角三角形和锐角三角函数(已下线)专题03 勾股定理与几何折叠问题专项训练-【好题汇编】2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编(广东专用)
2023九年级下·安徽·专题练习
6 . 如图,已知四边形中,,,.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)如图2,若平分交于点,,,求的长.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)如图2,若平分交于点,,,求的长.
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7 . 【问题情境】数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形中,,是延长线上一点,且,连接,交于点,以为一边在的左下方作正方形,连接.试判断线段与的位置关系.
(1)【探究展示】小明发现,垂直平分,并展示了如下的证明方法:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵四边形是矩形,
∴.
∴__________.(平行线分线段成比例)
∵,
∴.
∴.
即是的边上的中线,
又
∴__________.(等腰三角形的“三线合一”)
∴垂直平分.
请将上述证明过程补充完整;
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图2,连接,以为一边在的左下方作正方表,发现点在线段的垂直平份线上,请你给出证明;
(3)【拓展应用】
如图3,连接,以为一边在的右上方作正方形,分别以点,圆心,为半径作弧,两弧交于点,连接.若,请直接写出的值.
(1)【探究展示】小明发现,垂直平分,并展示了如下的证明方法:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.
∵四边形是矩形,
∴.
∴__________.(平行线分线段成比例)
∵,
∴.
∴.
即是的边上的中线,
又
∴__________.(等腰三角形的“三线合一”)
∴垂直平分.
请将上述证明过程补充完整;
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图2,连接,以为一边在的左下方作正方表,发现点在线段的垂直平份线上,请你给出证明;
(3)【拓展应用】
如图3,连接,以为一边在的右上方作正方形,分别以点,圆心,为半径作弧,两弧交于点,连接.若,请直接写出的值.
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名校
8 . 如图,点是的边的中点,将沿直线翻折能与重合,若,,,则点到直线的距离为 _____ .
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2023-06-25更新
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554次组卷
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7卷引用:重庆市长寿区长寿中学校2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题
重庆市长寿区长寿中学校2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题重庆市南岸区珊瑚初级中学校2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题(已下线)开学摸底测评卷(测试范围:第1-2章)-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(浙教版)(已下线)专题7.2 期末押题卷-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(苏科版)(已下线)专题6.2 期末押题卷-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(浙教版)重庆市巴南区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题重庆市渝中区第二十九中学校2022-2023学年九年级上学期数学开学测试试题
9 . 如图,在中,点P是边上一点且满足,是的外接圆,过点P作交于点D.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的半径;
(3)若是的切线,写出的取值范围.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的半径;
(3)若是的切线,写出的取值范围.
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2023-05-31更新
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528次组卷
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2卷引用:2023年江苏省南京市建邺区中考二模数学试题
10 . 如图1,正方形和正方形,点、分别在边、上,将正方形绕点顺时针方向旋转,旋转角为.
(1)如图2,连接、,求证:;
(2)如图3,若,,当点旋转到边上时,连接、连接,并将延长交于点,求证:垂直平分;
(3)如图4,连接、,若是的中点,连接交于点判断与的关系,并证明你的结论.
(1)如图2,连接、,求证:;
(2)如图3,若,,当点旋转到边上时,连接、连接,并将延长交于点,求证:垂直平分;
(3)如图4,连接、,若是的中点,连接交于点判断与的关系,并证明你的结论.
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