3 . 如图，在中，，，，为中点，点分别在直线上，，连接．

(1)当点与点重合时，求的长；
(2)当点不与点重合时，求证：；
(3)若，求线段的长．

4 . 如图1，和都是等腰三角形，，，与分别交于点和交于点G，连接．
   
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接求证：垂直平分．
   

7 . 如图，在中，，，M为中点，D为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点F．
   
(1)如图1，当点D与点M重合时，请直接写出与的数量关系：______；
(2)如图2，当点D在线段上，求证：点E在的垂直平分线上．
(3)点D在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数．

8 . 如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．

   

(1)______；当点F恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，　　．（请写出所有满足条件的长）

9 . 如图，已知四边形中，，，．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若平分交于点，，，求的长．

10 . 【问题情境】数学课上，王老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．
   
(1)【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴__________．（平行线分线段成比例）
∵，
∴．
∴．
即是的边上的中线，
又
∴__________．（等腰三角形的“三线合一”）
∴垂直平分．
请将上述证明过程补充完整；
(2)【反思交流】
小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方表，发现点在线段的垂直平份线上，请你给出证明；
(3)【拓展应用】
如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，分别以点，圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接．若，请直接写出的值．