1 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．

   

(1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长．

2 . 如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）

   

A．4

B．

C．

D．

3 . 如图，是的直径，弦交于点，，连结，．

(1)如图，若，求的度数．
(2)如图，点在弦上，作，分别交弦，于点，，，过作交于点．
①求证：．
②如图，连接，若，，求，的长．

4 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

   

(1)填空：a＝_____，点B的坐标是______；
(2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是______ ．

6 . 已知：正方形中，为的上一点，且，是上一点，连接、，满足，若，则的长为________．
   

7 . 等腰三角形的一条腰长为，底边长为，则底角的正切值为__________．

8 . 在中，，，，则的值是（       ）．

A．

B．

C．

D．

9 . 已知，且，则的值为（       ）．

A．

B．

C．

D．