1 . 如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点落在点处，连接交于点，交于点，则 ____________________．

   

2 . （1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：

   

（2）连接图1中的，并取中点，连结、．
①如图2，若，求四边形的周长：

   

②如图3，若，且，求四边形的面积．

   

3 . 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．

(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．

(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．

4 . 如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点C是以点为圆心，1个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为，连接，D是的中点，连接，求的最大值．

   

6 . 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

7 . 如图，抛物线与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为______________．

8 . 将等边三角形如图放置在平面直角坐标系中，，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．

(1)如图1，求点E的坐标；
(2)在图1中，与交于点，连接，为的中点，连接，求线段的长．请你补全图形，并完成计算；
(3)如图2，将绕点逆时针旋转，为线段的中点，为线段的中点，连接，请直接写出在旋转过程中的取值范围．

9 . 如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

   

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．

(1)求的度数；
(2)点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，点在第三象限，其中，连接．设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）