1 . 问题提出：

   

（1）如图①，已知线段AB及AB外点C，试在线段AB上确定一点D，使得CD最短．
问题探究：
（2）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sin∠ABC=，D为AB中点，点E为AC边上的一个动点，请求出△BDE周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD．AB=10m，AD=24m，根据设计造型要求，在AB上任取一动点E、连ED，过点A作AF⊥ED，交DE于点F，在FD上截取FP=AF，连接PB、PC；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7）

2 . 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为．

（1）求抛物线的解析式．
（2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）；
②当点在线段上运动，且满足时，求的值．
（3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE．

（1）若DP＝，
①如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；
②如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；
③如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设CP的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO＋3OG的最小值；
（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CE＝CP，在BC的延长线上取一点H，使CH＝2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠CDO＝30°．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．

（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时．
①求证：∠DOF＝∠AOE；
②若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE．
（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．

5 . 如图，中，，，点D，E，分别在CA，BC的延长线上，且．过点C作，垂足为F，FC的延长线交AB的延长线于点G．

（1）求证：；
（2）①在图中找出与CG相等的线段，并证明；
②探究线段AG、BG、DE之间的数量关系（直接写出）；
（3）若．求的值（用含k的代数式表示）．

6 . 如图，在中，，，，点是斜边上一点，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点的与边相切，切点为的中点，与直线的另一个交点为．
（i）求的半径；
（ⅱ）连接，试探究与的位置关系，并说明理由．

7 . 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=78°，∠B=82°，则∠C=_________，∠D=__________
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（提示：举反例可画图并说明）
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=，AD=，求对角线AC的长．

8 . 如图，在菱形中，，顶点在直线上，该菱形可以绕着点按顺时针方向自由转动．过该菱形的另外三个顶点，，，分别向直线作垂线段，垂足分别为，，，记．

（1）①依据题意补全图形；
②当时，猜想三条垂线段，，间的数量关系为_________．
（2）当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）当时，请你通过探究直接写出这三条垂线段，，间的数量关系是_________．

9 . 已知△ABC中，∠ACB＝90°，将AB边绕点B顺时针旋转90°得线段BD．过点D作DM⊥BC交BC延长线于M，

（1）如图1，请判断线段AC、CM、MD的数量关系并说明理由；
（2）E为DM延长线上一点，当点E为如图2所示的位置时，以AE为斜边向右侧作等腰Rt△AFE，再过点F作FN⊥DM于N，探究BM、FN、MN三条线段的数量关系，并说明理由；
（3）在问题（2）的条件下，当点E运动到某一位置时点B、A、F三点恰好在同一直线上，取DE中点P，连接AP，且AB＝3，AF＝1，请直接写出AP的值．

10 . 问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．