1 . 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知∶如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，O为AC的中点．

   

求作∶四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法∶①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明∶∴点O为AC的中点，
∴AO=CO．
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据)．
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据)．

2 . 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O．

（1）尺规作图：以OA、OD为边，作矩形OAED(不要求写作法，但保留作图痕迹)；
（2）若在菱形ABCD中，∠BAD=120 °，AD=2，求所作矩形OAED的周长．

3 . 在四边形中，，．

（1）P为边上一点，如图，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）
①当点E落在边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时_________；
②若点P为边的中点，连接，则与有何位置关系？请说明理由；
（2）点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．

4 . （1）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．

请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
（2）【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 　　．
（3）【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 　　．

5 . 如图，在中，，为边上的高线，为上一点，满足，连接．

（1）求证：；
（2）取线段的中点M，连接并延长到点F，使得．
①依题意补全图形；
②求证：；
③连接，若成立，直接写出的值．

6 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．

求证：．
证明：延长至点，使，连结．
【问题解决】补全以上证明过程．
证明：延长至点，使，连接．
【规律探索】如图，在中，于点于点；点是的中点，连结，若，则_______．

【结论应用】如图，分别是的高线，连结．分别是的中点，则的长为_______．

7 . 如图，在菱形中，，顶点在直线上，该菱形可以绕着点按顺时针方向自由转动．过该菱形的另外三个顶点，，，分别向直线作垂线段，垂足分别为，，，记．

（1）①依据题意补全图形；
②当时，猜想三条垂线段，，间的数量关系为_________．
（2）当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）当时，请你通过探究直接写出这三条垂线段，，间的数量关系是_________．

8 . 已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．

（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．
①依据题意补全图1；
②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．
（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．

9 . 如图，AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上的一点，点 D 是弧 BC 的中点，连接 AC， BD，过点 D 作 AC 的垂线 EF，交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F.．
   
（1）依题意补全图形；
（2）判断直线 EF 与⊙ O 的位置关系，并说明理由
（3）若 AB=5，BD=3，求线段 BF 的长

10 . 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．