1 . 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

   

2 . 如图，Rt△ABC中，∠C=90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：
（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；
（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的长．

3 . 已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．
（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．
①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC′的长度．

4 . 如图1，四边形ABCD是平行四边形，A, B是直线l上的两点，点B关于AD的对称点为M，连接交AD于F点.
（1）若，如图，
①依题意补全图形；
②判断MF与FC的数量关系是                ；

（2）如图2，当时，，CD的延长线相交于点E，取E的中点H，连结HF. 用等式表示线段CE与AF的数量关系，并证明．

5 . 问题提出：如图，在锐角中，如何作一个正方形，使落在边上，分别落在边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在两边上的正方形；
②连接，并延长交于点；③过点作于点；④过作，交于点；⑤过点作于点，则四边形即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角中，作出长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．

（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由．
（2）请你帮助创新小组同学在锐角中，作出所有满足长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知的面积为36，，求出矩形的面积．

6 . 如图，已知四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG＝30°，AG＝3，则菱形ABCD的面积等于_____．

7 . （1）如图 1，在  ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线 l 交 AB 于 E， 交 CD 于 F，①判断 OE 和 OF 的数量关系：               ，并证明；
② S_{四边形AEFD}                          S_{四边形CFEB} （填“>” 或“=” 或“<”）．
（2）如图 2 是一块“L”形的材料，请你作一条直线 m，使得直线 m 两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）．
（3）如图 3，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，以 相同的速度分别沿 AD、CB 向终点 D、B 移动，当点 P 到达点 D 时，运动停止，过点 C 作 CH⊥PQ，垂足为点 H，连接 BH，则 BH 长的最小值为 cm（保留作图痕迹， 直接填写结果）．

8 . 阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题： 如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少． 小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究： 小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝．但没有办法继续求解． 小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长． 由△A′BP∽△DCP，得＝＝ 所以BP＝． 过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10． 所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．

任务：
（1）类比探究：对于函数y＝，当x＝　 　时，y有最小值，最小值为　 　．
（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．

9 . 如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．

（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径．

10 . 已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O.
（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是            ，位置关系是            .
（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG.
①依题意将图2补全；
②小亮通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有.
小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：连接EG，要证明，只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形.
想法2：延长AD，GF交于点H，要证明，只需证△DGH是直角三角形.

图1                                        图2
请你参考上面的想法，帮助小亮证明.（一种方法即可）