1 . （1）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．

请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
（2）【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 　　．
（3）【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 　　．

2 . “综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程．请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧．
（1）探究：已知是平面上一个运动的点，若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；
（2）应用：已知是一运动的点，，，如图①所示，分别以为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接和．
①在图中找出与相等的线段，并说明理由；
②何时线段可以取得最小值？请直接写出线段的最小值；
（3）拓展：如图②，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，为边上任意一点，连接并延长与边交于点，现将图中与分别沿与翻折，使点与点分别落在矩形内的点，处，连接，则的长有最小值吗？若有，请直接写出的长的最小值；若没有，请说明理由．

3 . （1）问题情境：如图1，已知等腰直角中，，，是上的一点，且，过作于，取中点，连接，则的长为_______（请直接写出答案）
小明采用如下的做法：
延长到，使，连接，
为中点，为的中点，
是的中位线……
请你根据小明的思路完成上面填空；
（2）迁移应用：将图1中的绕点作顺时针旋转，当时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论．
   
（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当、、三点共线时，直接写出线段的长．

4 . 阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题： 如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少． 小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究： 小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝．但没有办法继续求解． 小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长． 由△A′BP∽△DCP，得＝＝ 所以BP＝． 过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10． 所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．

任务：
（1）类比探究：对于函数y＝，当x＝　 　时，y有最小值，最小值为　 　．
（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．

5 . 如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．

（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝      ，＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．

6 . 【动手操作】
如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A′与点______重合，点B′与点______重合；
【探究发现】
如图②，圆柱的底面周长是80，高是60，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是______；
【实践应用】
如图③，圆锥的母线长为12，底面半径为4，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？
【拓展联想】
如图④，一颗古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，这条紫藤至少有      米

7 . 综合与实践：
问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点G.

特例探究　实验小组的同学发现：
（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；
（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；
延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．

8 . 问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：                                                                                   
依据2：                                     
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

9 . 我们定义：如图1，在△ABC中，把AB点绕点A顺时针旋转得到．把AC绕点A逆时针旋转得到，连接．当=180°时，我们称△是△ABC的“旋补三角形”，△A边上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1） 在图2，图3中，△A是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”
① 如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=        BC．
②如图3．当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为              
[猜想论证]
（2） 在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
[拓展应用]
（3） 如图4，在四边形ABCD内部恰好存在一点P，使△PDC是△PAB的“能补三角形”，自行补图形，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，AB=2 ．直接写出△PAB的“旋补中线”长是

10 . 【问题情境】如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）【问题解决】延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是　 　．
【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．
（2）【尝试应用】如图②，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM=4，MN=5，AC=6时，请直接写出中线AD的长．