1 . 在矩形中，点在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交，于点E，F，连接（如图①）．
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求的长；
(2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段的中点经过的路线长．

2 . 问题情境:
在综合实践课上，张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，张老师拿着一张矩形纸片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如图1，先沿对角线BD折叠，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.
操作发现：
（1）“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条；
（2）如图2．“雄鹰”小组将图1再折叠一次，使点D与点A重合，得到折痕GH，GH交AD于点M，发现△DGH是等腰三角形，请你证明这个结论；
实践探究：
（3）“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照（2）中“雄鹰”小组的作法操作，发现点E和点G重合，，如图3，试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系；
（4）”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题：当a与b满足什么关系时，点G是DE的中点？请你直接出a与b满足的关系.
            

3 . 问题呈现
如图1，点、、、分别在矩形的边、、、上，.求证：.

实验探究
某数学实验小组发现：若图1中，点在上移动时，上述结论会发生变化，分别过点、作边的平行线，再分别过点、作边的平行线，四条平行线分别相交于点、、、，得到矩形.
如图2，当时，若将点向点靠近（），经过探索，发现：.
如图3，当时，若将点向点靠近（），请探索、与矩形之间的数量关系，并说明理由.
迁移应用
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题.
（1）如图4，点、、、分别是面积为25的正方形各边上的点，已知，，，，求的长.

（2）如图5，在矩形中，，，点、分别在边、上，，，点、分别是边、上的动点，且，连结、，请直接写出四边形面积的最大值.

4 . 观察思考：如图，A、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），，已知，、间的距离为，连接、、，把沿折叠得．

(1) 当、两点重合时，则__________；
(2)当、两点不重合时，
①连接，探究与的位置关系，并说明理由；
②若以、、、为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出的长．

5 . 如图，已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）. 若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交线段DA于点H、G.
（1） 求证：PG=PF；
（2） 探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

6 . 已知四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，DE与CF交于点G．

(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
(3)如图③，若BA=BC=9，DA=DC=12，∠BAD=90°，DE⊥CF，则的值为_____________．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

8 . 问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD．AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

9 . 在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点. 如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的三种情况，试探究：

（1）三角板绕点旋转，观察线段和之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；
（2）三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，写出所有 为等腰三角形时的长（直接写出答案即可）；若不能，请说明理由;
（3）如图，若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，和前面一样操作，试问线段和之间有什么数量关系？并结合图④证明你的结论.