1 . 如图，是的直径，的半径为2，为正十边形的一边， 且，则劣弧的长为__________．

   

2 . 如图1，小明家购买了一个直径为的圆形梳妆镜，其示意图如图2，点A，B是圆镜上两个挂绳固定点，点P是钉子悬挂点，挂绳长度可调节，设为，，且．

(1)小明通过调节挂绳长度，使得与相切于点A．
①求证：与相切；
②若，求的长度；
(2)小明经过对家人身高的调查，决定把镜子的中心（圆心O）定在距离桌面高度处（如图3，点P，O，D三点共线），且通过测量得到．若挂绳可调节的范围为：，直接写出点P到桌面的距离的取值范围（结果保留根号）．

3 . 在平面直角坐标系中，的位置如图所示．

(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得 其中点A，B，C 分别和点对应，画出点 的坐标为        ；
(2)将绕原点O逆时针旋转 得，其中点A，B，C分别和点 对应，画出，点的坐标为        ；
(3)在（2）的条件下，求点B运动的路径长．

4 . 一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，此时（如图3）．

(1)求点D转动到点的路径长；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，）

5 . 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为_____．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为、的半径为2（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（       ）

   

A．

B．

C．

D．

7 . 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是．

   

(1)画出关于原点对称的；
(2)画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长．

8 . 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求劣弧的长．

9 . 如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是_______(结果保留π ) ．

10 . 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（       ）

A．

B．

C．

D．