1 . 【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分．

【问题联思】如图2，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，并写出与的数量关系；

【问题再现】如图3，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）

2 . 如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，，．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．

(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________；
(2)如图2，将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
①请在图中作出点；
②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为______________；
(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？

4 . 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，
①在图2中，若点E落在上，则“关联比”             ；
②在图3中，探究与的关系，并求出“关联比”的值．
(2)如图4，当与为“关联等腰三角形”，且时，
①“关联比”             ．
②时，将绕点A顺时针旋转60°，线段扫过的面积是        ．
(3)[迁移运用]如图5，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为             ．

6 . 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．

7 . 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则______．

8 . 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
                
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
   
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
   
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
          

9 . 如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以A为圆心，AD长为半径的弧DF交AC的延长线于F，若图中两个阴影部分的面积相等，则＝_____．
   

10 . 已知AB⊥DE于A，C，O是AB上一点，且AC＝CO＝OB＝2，以O为圆心作扇形BOF，F到直线AB的距离为．

（1）求扇形BOF的面积：
（2）将直线DE绕A点旋转得到直线D'E'；
①当直线D'E'与扇形BOF相切时，求旋转角的大小；
②设直线D'E'与扇形BOF的弧相交于M、N，若AM＝MN，求MN的长．