1 . （1）问题提出：如图1，是边长为8的等边三角形，D是边上一点且平分的面积，求的长为      ；
（2）问题探究：如图2是某公园的一块空地，由和四边形组成，， ，米，，，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），分别种植不同的花卉，请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）
（3）拓展应用：如图3某公园的一块空地由三条道路围成，即线段、、，已知米，米，，的圆心在边上，并从的中点P修一条直路（点M在上）．请问是否存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由

2 . 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．
   
计算：在图1中．
（1）求圆心到水面的距离；
（2）求水槽最高和最低点之间的距离；
探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图．
（）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
（参考数据：，，）

4 . 【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．

【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 正比例函数的图像和反比例函数的图像都关于原点对称．九年级一班数学小组的同学们根据正比例函数及反比例函数的图像及性质以及中心对称的相关知识进行如下的探究活动；如图，双曲线为常数与直线分别交于四点，以原点 O为圆心，经过四点画圆，若图中阴影部分的面积为．

(1)求的半径和k的值；
(2)求经过两点的一次函数解析式．

9 . 综合探究

将两块三角板如图1所示放置，，，，，．将绕着点C顺时针旋转时平分．
(1)如图1，当边与边重合时，求的度数；
(2)如图2，在旋转过程中，当时，求线段扫过的面积（结果保留）；
(3)当边与重合时停止旋转，探究与满足的数量关系，并说明理由．

10 . 问题提出：
（1）如图①，已知线段，试在其上方确定一点C，使，且的面积最大，请画出符合条件的．
问题探究：
（2）如图②，在矩形中，点E在边上，且，连接，若，求面积的最大值．
问题解决：
（3）某市新建成一迎宾广场，园林部门准备在“三·八”节前，用少量资金对广场一角进行绿化美化改造，以提升城市形象．根据地形特点，准备设计一个由三条线段及一段组成的区域，并在其内部栽花种草进行美化．如图③所示，在以为直径的半圆上，圆心为O，米，为保证最佳观赏效果，要求的长为，已知栽花种草每平方米费用为50元（含所有花费），园林部门准备了2600元用于上述区域的绿化工作，请问是否可满足本次绿化美化改造最大费用的需求？（参考数据，）