1 . 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x的图象为直线l．
（1）观察与探究
已知点A与A′，点B与B′分别关于直线l对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出C（4，﹣1）关于线l的对称点C′的位置，并写出C′的坐标_____；
（2）归纳与发现
观察以上三组对称点的坐标，你会发现：
平面直角坐标系中点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为_____；
（3）运用与拓展
已知两点M（﹣3，3）、N（﹣4，﹣1），试在直线l上作出点Q，使点Q到M、N两点的距离之和最小，并求出相应的最小值．

4 . 将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．

【操作观察】
(1)图1中，．
①则_________；
②若，则________；
【理解应用】
(2)如图2，若，试说明∶；
【拓展延伸】
(3)如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；

5 . 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
   

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+　 　=　 　．
在△AC′B′中，
∵AB′＜AC′+C′B′
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用
（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
   
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；
（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°．
2.拓展应用
如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．

6 . （1）【问题解决】已知点在内，过点分别作关于、的对称点、.

①如图1，若，请直接写出______；
②如图2，连接分别交、于、，若，求的度数；
③在②的条件下，若度（），请直接写出______度（用含的代数式表示）.
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在中，，点是内部一定点，，点、分别在边、上，请你在图3中画出使周长最小的点、的位置（不写画法），并直接写出周长的最小值.

7 . 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示．

(1)将边BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD；
(2)在线段CD上找一点M，使得AMBC；
(3)在AC上找一点P，使DP＋MP最小；
(4)依据（1）（2）（3）的作图，试探究：若α、β是锐角，且tanα＝1，tanβ＝，则tan（α＋β）＝            ．

8 . 如图，在等边中，是边上一点，，点是点关于直线的对称点，点在直线上（点不与点重合），且．

(1)依题意补全图形，直接写出的度数（用含有的代数式表示）；
(2)探究、、满足的等量关系，并证明；
(3)若点在的延长线上，其余条件不变，直接写出、、满足的等量关系．

9 . 请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为         ；
(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值         ；
(3)求出的最小值．

10 . 如图，和关于直线对称，和关于直线对称．

（1）画出直线；
（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．