1 . 综合与实践
问题提出
（1）如图1，在中，，点分别在边上，且，则与的大小关系是         ．
操作感悟
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，连接，猜想与的大小关系和位置关系，并证明你的结论．
延伸探究
（3）如图2，若，在绕点顺时针旋转的过程中，求面积的最大值．

2 . 如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值；
(3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：．

3 . 阅读下面材料，并完成相应的任务．

三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线．

任务：
(1)写出材料中的依据：_____．
(2)请根据图3的折法，求证：是的中位线．

4 . 阅读下列材料，并完成相应任务．
镜子里的几何问题
用一面镜子照自己，如果镜子太小，你就看不到自己的整张面孔，换大一点的镜子，你就可以看到整个头部了，如果想看到全身，镜子还得再大一些．那么，到底要多大的镜子才可以呢？可以用数学的思维思考这个问题．如图①， 表示人的高度，表示镜子里人像的高度，表示与人相平行的镜面，由平面镜成像原理可知像到镜面的距离等于人到镜面的距离．人与像与镜面都是平行的，E表示人眼睛的位置，易知P是的中点，Q是的中点．是的中位线，，要想看到人的全身像，镜子大小最少是人身高的一半．

(1)材料中P，Q分别为，的中点，依据是        ．
(2)如图2在（1）的条件下已知小亮身高米，小亮与镜子间的距离2米，小明的身高米，小明与镜子间的距离为米，点E为小明眼睛的位置，若小明通过镜子可以看到小亮的全身像，求出此时平面镜的最小高度；
(3)根据镜子中的人像问题请解决如图③，为直角三角形，，点D为的中点，点P为上一动点，求的最小值．

5 . 如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米．

(1)求窗户的高度（的长）；
(2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长．

6 . 如图，在中，，，，是边的中点，点位于边上，连接并延长交的延长线于点，过点作，垂足为．

(1)当时，求的值；
(2)当时，求证：；
(3)作射线，使其平行于，且在的右侧．试问：在射线上是否存在点，使得？如果存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由．

7 . 已知：三个顶点都在上，是的直径．
   
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，和交于点，过作垂足为点，若时，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，若，时，求的值．

8 . 下列说法中，正确的个数是（       ）
①若，则或；
②相似三角形的中线的比等于相似比；
③如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
④有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形面积之比等于这边比的平方；
⑤两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行；
⑥邻边相等的两个矩形一定相似．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 小明最近学习了三角形的角平分线相关知识，进一步进行探究之后发现，三角形的一条角平分线分三角形一边的两线段之比值恰好等于三角形的另外两边之比值．
请根据以下思路完成作图和填空：
在中，平分，在的右侧作（保留作图痕迹，不写过程）；
延长交与点E，求证：．
   
证明：∵
①
∴
又∵平分
②
∴
③
又∵
④
∴．

10 . 如图，矩形在平面直的坐标系中，点A在轴上，，点在轴上，，点在上，，点在轴上，以为边向下作平行四边形．

          

(1)求的值；
(2)点的横坐标是否为定值，请说明理由，并求出点的横坐标；
(3)若的面积被x轴分成1∶3两部分，请求出m的值；
(4)若点关于的对称点落在轴上，请求出点的坐标．（直接写出答案）