1 . 已知正方形，将边绕点A顺时针旋转α至线段的角平分线所在直线与直线相交于点F．

   

【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①的度数为     ；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度．

3 . 综合与实践
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，
①求证：．
②当正方形的边长为，时，则__________．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

4 . （1）【问题发现】如图，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，连接．
①线段与的数量关系为__________；②直线与所夹锐角的度数为__________；
（2）【类比探究】如图，将矩形绕点逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图进行说理．
（3）【知识迁移】如图，当矩形的边时，点为线段上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长__________．
（4）【拓展应用】如图，在矩形中，，，点时直线上一动点，连接、，直接写出的取值范围__________．（用含有、的代数式表示，可以不化简）

5 . 【问题提出】如图，在中，，，连接，探究的值．
【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图1，当时，直接写出的值为__________；
（2）再探究一般情形、如图2，当时，求的值；
【问题拓展】如图3，在中，，，P是内一点，，于E，交于F，当的面积最大时，直接写出的值为________．

6 . （1）【问题发现】
如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则          ．

（2）【问题解决】
如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长．

9 . 综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：
①的度数为 　　；
②若，则的长为 　　；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．

10 . 中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接.
问题初现：
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______；
类比探究：
（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.