1 . 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出；

(1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为______．
(2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上．沿着直线折叠矩形，点，分别落在点，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，求折叠后重叠部分的面积．

3 . 如图，平行四边形中，，点是边上的一点，连接，以为对称轴作的轴对称图形．

(1)动手操作
当点正好落在边上时，在图①中画出的轴对称图形，并判断四边形的形状是        ；
(2)问题解决
如图②，当点是线段中点，且时，求的长；
(3)拓展探究
如图③，当点、、在同一直线上，且时，求的长．

4 . 如图Ⅰ，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，．
【观察猜想】
（1）将图Ⅰ中的，绕点A逆时针旋转，连接，，且的延长线交于点，得到图Ⅱ．若的延长线恰好经过点（即点，重合），直接写出与间的数量关系；
【类比探究】
（2）继续旋转图Ⅱ中的，连接，，且的延长线交于点（此时点，不重合），得到图Ⅲ．
①（1）中的结论是否改变？若不变，请证明；若改变，写出新的结论并证明；
②求的度数；
【拓展延伸】
（3）若，，在旋转过程中，当所在的直线垂直于时，求线段的长．

5 . 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．

(1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为            ；
(2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．

6 . 【问题情境】
小睿遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

【问题探究】
小睿发现，过点C作，交的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．
（1）①的度数为______；②求的长；
【问题拓展】
（2）如图3，在四边形中，，，，与交于点E，，，求的长．

8 . 如图①，在正方形中，，在上取一点，使得，以为边作正方形，连接，．

问题发现：
（1）的值是______；直线，所夹锐角的度数是______．
拓展探究：
（2）如图②，正方形绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由；
解决问题：
（3）在旋转过程中，当点到直线的距离为时，请直接写出的长．