1 . 问题提出
如图（1），的四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）．
问题拓展
（3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值．

2 . 综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，

【探索发现】
操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有．
操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________．
【探究提升】
如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形．
【拓展应用】
如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________．

6 . 【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维．
【设置情景】王老师给出了如下几何图形：
“如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．”
【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答．
（1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）；
（2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．
王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答．
【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明．

8 . （1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M始终落在边上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，与交于点P，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：；

（2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长；
（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m的式子表示）

9 . 问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．

初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．

10 . A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．

(1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为             ．
(2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．