1 . （1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．
则线段AD，BE之间的位置关系是　 　，数量关系是　 　；
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断线段AD，BE之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段BE的长．

2 . 【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

3 . 如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

4 . （1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

5 . 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．
应用拓展：
（2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长．

   

7 . 【基础巩固】（）如图，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：．
【尝试应用】（）如图，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（）在中，，，以为直角顶点作等腰直角，点在线段上，点在线段上．若，直接写出__________．

8 . （1）如图，Rt与Rt ，点在上，点在上，，，则 ______， ______；

（2）如图，在（1）的条件下，Rt 绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．

（3）拓展：如图，矩形，为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，求的最小值．

9 . 若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
       
(1)知识理解：
如图①，与互为“旋转位似图形”．
①若，，，则        ；
②若，，，则        ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．

10 . 基础巩固】

       

（1）如图1，在中，为上一点，连接，为上一点，连接，若，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连接，，，若，，求的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，对角线、交于点为中点，为上一点，连接、，，若，，求______．