1 . 【感知】如图①，在中，点为边延长线上的点，若，过点作交延长线于点．若，求的长．

【探究】如图②，在中，点是边上的点，点为边的中点，连接、交于点，若，小明尝试探究的值．在图②中．小明过点作交于点，易证，则，从而得到的值为___________，易证，则，从而得到的值为___________．从而得到的值为___________．
【应用】如图③，在中，点是边上的点，为边延长线上的点，连接，延长，交于点．若，，且的面积为1，则的面积为___________．

3 . 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．

项目主题：测量河流的宽度．

项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．

项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：

题目	测量河流宽度
目标示意图
测量数据

请你参与这个项目学习，并完成下列任务

(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。

6 . 如图，个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，且这些等边三角形的第三个顶点位于该直线的同一侧．设的面积为，的面积为，…，的面积为，请探究并解决下列问题：
   
（1）等边三角形的面积等于______．
（2）等于______．

8 . 阅读下面活动内容，完成探究1-3的问题：将一个矩形绕点A顺时针旋转α，得到矩形，连结．
   
[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．
[探究2]如图2，连结，过点作交于点M，线段与相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），发现线段存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

9 . 如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．
   
(1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论．
(2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题：
①求证：；
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．