1 . 在中，，，D是边上一点，将沿折叠得到，连接．

(1)如图1，当落在直线上时，求证：．
(2)如图2，当m，与边相交时，在上取一点G，使，交于点H．
①探究的值，并写出探究过程．
②若D是的中点，求的值．

3 . 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当与为“关联等腰三角形”，且时，
①在图2中，若点E落在上，则“关联比”             ；
②在图3中，探究与的关系，并求出“关联比”的值．
(2)如图4，当与为“关联等腰三角形”，且时，
①“关联比”             ．
②时，将绕点A顺时针旋转60°，线段扫过的面积是        ．
(3)[迁移运用]如图5，与为“关联等腰三角形”．若，，点P为边上一点，且，点E为上一动点，当点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长为             ．

5 . 如图，已知点在矩形外，，，点，分别在，上运动，且，连接．

（1）求证：；
（2）若是等腰直角三角形，求的值；
（3）试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．

6 . 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：．
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，要使成立，完成下列探究过程：
要使，转化成，显然△DEA与△CFD不相似，考虑，需要△DEA∽△DFG，只需∠A＝∠________;另一方面，只要，需要△CFD∽△CDG，只需∠CGD＝∠________．由此探究出使成立时，∠B与∠EGC应该满足的关系是________．
（3）如图③，若AB＝BC＝6，AD＝CD=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，那么的值是多少?(直接写出结果)

7 . 如图所示，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．

（1）如图1，当直线l与直线MA垂直时，试探究AB，AD，BE之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当直线l与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则（1）的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB，AD，BE之间的数量关系．

8 . 在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

9 . 综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；
(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为　　；
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()

10 . 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
如图1，点在上，的平分线交于点，连接求证：四边形是等补四边形；
探究：
如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由．
运用：
如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点求的长．