1 . 提出问题
（1）若，求的值．某数学小组在探究这个问题时发现，如果引入格点正方形解题，求解过程会变得更加简单．如图（1），在一个2×3的正方形网格中，作与，使，则，连接，可发现是一个特殊的三角形，的形状是______，从而可求出的度数，进而得到的度数，即______°．
   
迁移应用
（2）如图（2），在矩形中，，点E，F分别在上，若，，求的长．
   
类比探究
（3）如图（3），在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，求的长．
   
延伸拓展
（4）如图（4），在中，是边上的高，，求的长．
   

2 . 【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．

3 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．

（1）【观察发现】
①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】
如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．

4 . 综合与实践
【问题情景】
数学活动课上老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动
（1）小莹将平行四边形纸片进行折叠（如图①）使点A落在边上的点E处，折痕为，将纸片展平，试猜想四边形的形状，并说明理由．

【探究与实践】
（2）小亮同学将一张矩形纸片进行折叠（如图②），使边落在对角线上，点B落在点O处：
①若点B恰好落在的中点处，折痕为，延长交的延长线于点G，与有什么数量关系？并说明理由；
②若点B落在的处（如图），那么与的数量关系是______．

【拓展应用】
（3）大刚将一张边长为8的正方形纸片进行折叠（如图③），先将正方形纸片对折，折痕为．将正方形沿折叠使得点D与E重合与的交点为M，求的值．

5 . 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接

(1)问题发现：
如图1，若__________，与的数量关系是___________________．
(2)类比探究：
如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
(3)拓展应用：
若，过点E作于点F，，请直接写出的长．

6 . 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为           ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．

7 . 实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；

②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】

（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．

【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．

8 . 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．

独立思考：
(1)试判断和的位置关系，并说明理由．
实践探究：
(2)“聪慧小组”受此问题的启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．

拓展探究：
(3)“善思小组”奇想：如图，将绕着点逆时针旋转角度时，得到，连接，交于点，延长交于点，该小组提出一个问题：若是线段的中点，的面积为，求的面积，请你思考此问题，直接写出该问题的结果．

9 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．

【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

	思路一	思路二
第一步	如图2，连接，，证明；	如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步	利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达

（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．

10 . 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形中，点E是边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线于点H，交于点F．为了探究与之间的数量关系，在如图2中，作，交的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形中，，，，于点G，交于点H，交于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形中，，E是的中点，，交于点G，交于点F．请直接写出的值．