1 . 问题背景：如图1，在四边形中，，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．

(1)操作探究
连接，判断的形状，说明理由；
(2)探究迁移
将沿射线平移得到（点的对应点分别为），当点的对应点与点重合时，求四边形的周长；
(3)拓展创新
将继续沿射线平移得到（点的对应点分别为），与交于点，且，将绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出的长．

2 . 在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折纸的方法，确定矩形纸片长边上的一个三等分点”的探究活动．
【操作探究】
“求知”小组经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，如图1．
第1步：先将矩形纸片沿对角线对折，展开铺平，折痕为；
第2步：将边以某一合适长度向右翻折3次，折痕与交于点K；
第3步：过点K折叠矩形纸片，使折痕，交于点N；
第4步：延长交边于点P，则点P为边的三等分点．
证明过程如下：
由题意，得．
∵，∴．
∴①              ．
∴．同理，得．
∴②            ．
∴．则点P为边的三等分点．
“励志”小组的操作如下，如图2．
第1步：先将矩形纸片沿对角线对折，展开铺平，折痕为；
第2步：再将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为；
第3步：沿折叠矩形纸片，折痕交于点G；
第4步：过点G折叠矩形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）补全“求知”小组证明过程中①②所缺的内容；
（2）“励志”小组经过上述操作，认为点M为边的三等分点．请你判断“励志”小组的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为，将边沿翻折到的位置，过点G折叠矩形纸片，使折痕，若点M为边的三等分点，求的值．

3 . 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为和．将固定不动，平移．
操作探究：
（1）如图②，把沿射线平移得到△，当，请直接写出平移的距离；
探究发现：
（2）如图③，把射线平移得到△，连接，判断四边形的形状，并证明；
   
探究拓展：
（3）记为△，将其拼接到如图④的位置，并使与A重合，与C重合，然后把△沿射线方向平移，平移的距离是，使点，D，中的某一点与点B和C构成的三角形是等腰三角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离l（写出一种即可）
   

4 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
   
在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．

小亮： 证明：连接．     由题意，可知， 即为的中点． 平分， ． ． ． ． ． ． ．

小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．     ． 易得． ． ……

(2)【深入探究】
①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．

5 . 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．       
【性质探究】（2）如图1，是和美三角形，是钝角，是和美角，
求证：．
【拓展应用】（3）如图2，是的直径，且，点C，D是圆上的两点，弦与交于点E，连接，，是和美三角形．
①当时，求的长．
②当是和美三角形时，直接写出的值．

6 . 在中，，是直角三角形，，点是的中点．

【初步发现】

如图①，当的顶点在边上时，若，猜想与的数量关系，并写出（不需要证明）；

【猜想验证】

小红说：在【初步发现】的条件下，还可得到线段．你认为她的说法正确吗？说明理由；

【拓展延伸】

如图②，当的顶点在边上时，若，探究线段与线段的数量关系，并说明理由．

7 . 【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改为“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证……
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度．

8 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点于点．

【初步感知】（1）求证：为的切线；
【深入研究】（2）当时，若，求的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当时，若，求的长．

9 . 几何综合：
已知：点是边上一动点，作∽，点、点分别是边、的中点，连接、；设（常数）．
   
(1)证明推断：
若．如图①，当时，
①求证：≌；
②推断：当时，_____；
(2)类比探究：
若．如图②，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：
若．如图③，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．

10 . 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．

独立思考：
(1)试判断和的位置关系，并说明理由．
实践探究：
(2)“聪慧小组”受此问题的启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．

拓展探究：
(3)“善思小组”奇想：如图，将绕着点逆时针旋转角度时，得到，连接，交于点，延长交于点，该小组提出一个问题：若是线段的中点，的面积为，求的面积，请你思考此问题，直接写出该问题的结果．