1 . 定义：我们把三边之比为的三角形叫做奇妙三角形．

(1)初步运用：如图是的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为______°．
(2)再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由．

2 . 实践感悟

(1)小草把两个自制的直角三角板ABC与DEC的直角顶点叠放在一起，如图1所示，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠BAC＝30°，则线段AD与BE的数量关系为           ．
探究发现
(2)如图2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，AC＝3CE＝BC＝6，DE⊥AC交AB于点D，将△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），D，E对应点分别为N，M，连接BN，CM，在旋转过程中设CM＝k（k为参数），试求BN的值（用k表示）．
问题解决
(3)工程师张红武在电脑上设计了一个凸四边形ABCD零件（CD＞AD），如图3所示．其中AB＝8厘米，BC＝10厘米，DE⊥AB，垂足是E，E是AB的中点，且∠ADE＝∠DCB，连结BD，AC．在尝试画图的过程中，张红武发现图中三条线段AD²，CD²，AC²之间存在一定的数量关系，请你求出这个关系式；如果设计要求CD＞AD且AC长度不能小于12.8厘米，请问张红武的设计是否可达到要求，通过计算说明你的判断．（参考数据：6.3²＝39.69，6.4²＝40.96，6.5²＝42.25）

3 . 已知直线y₁＝kx+1（k＞0）与抛物线y₂＝x²．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y₁与y₂的最大值相等，求k的值；
(2)如图①，直线y₁＝kx+1与抛物线y₂＝x²交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S_△ACF：S_△BCF＝AC：BC；
(3)将抛物线y₂＝x²先向上平移1个单位，再沿直线y₁＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y₁＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

4 . 如图1，在中，，点D为AB边上一点（不与A，B两点重合），过点D作，交AC于点E．连接BE，在BE上取一点M，连接CM并延长CM至点N，连接BN．

(1)观察猜想
若，，则线段CE与BN的位置关系是______，的值是______；
(2)类比探究
将绕点A顺时针旋转至如图2所示的位置，，，写出线段BN与CE的位置关系及的值，并说明理由；
(3)解决问题
绕点A在平面内自由旋转，，，若，，以点B，D，E，N为顶点的四边形是菱形，直接写出线段BM的长．

5 . 综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们“以等腰三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动．
阅读材料：如图1，若C是线段上一点，且，则C称为线段的黄金分割点，利用一元二次方程的知识我们可以得到，把称为黄金比．

问题解决：（1）证明背景材料中结论的正确性．（已知C是线段上一点，且，求证：．）
操作发现：（2）如图2，在中，，将沿着折叠，使点B，C都恰好与点A重合，折痕为和，然后展开铺平．小明发现，线段与线段满足关系式，请结合阅读材料证明这个结论．
深入探究：（3）在（2）中的条件下，已知在中，，直接写出的长为__________．

6 . 问题提出
（1）如图①，在矩形中，点为上一点，，在上有一点，连接，将矩形的面积平分，则的长为______；
问题探究
（2）如图②，在中，，，，点是上一点，，点是射线上一动点，与关于对称，求点到距离的最小值；
问题解决
（3）如图③，某公园计划建一个形状为的游乐场，其中米，米，连接，．为方便工作人员通过，要留出一条快速通道，、是边上的动点（可与顶点重合），根据设计要求，线段平分的面积，过点作于点，要将区域修建为家长休息等待区，为使游乐场容纳更多的游乐设施，要求家长休息等待区（即）的而积尽可能地小，问的面积是否存在最小值？若存在，请求出的最小面积；若不存在，请说明理由．

7 . 在△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，∠AED＝45°．

(1)如图1，过点C作CM⊥BD交BD延长线于点M，试探究CM和BE的数量关系，并证明．
(2)如图2，过点A作AF⊥CE于点F，交BD于点G，求证：EC＝2AG．
(3)若CD＝kAD，求的值（用含k的式子表示）．

8 . 综合与实践

问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将（其中）绕正方形的顶点A旋转，连接，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并加以证明；
(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，如图2，连接，分别取的中点M，N，R，连接，请判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，在（2）的条件下，如图3，将旋转至交于点H，若，则线段的长为________．

9 . （1）【实验】如图①，点为线段的中点，直线与相交于点，在直线上取两点，，当、满足数量关系为 时，四边形平行四边形，理论体是为       ．

（2）【探究】如图②，在平行四边形中，点是中点，过点作的垂线交边于点，连结．可猜想、、三条线段之间的数量关系为          ，并给予证明．

（3）【应用】如图③，在中，点为的中点，若，，时，则的面积是                  ．

10 . 正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE 与BF延长线交于点G．

(1)如图1，求证AE⊥BF；
(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；
(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____ ．