1 . 综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．

2 . 【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．

（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．

3 . 如图，在四边形中，点，分别在边，上．连接，，，．

(1)【实践探究】如图①，四边形是正方形．
（ⅰ）若，，求的余弦值；
（ⅱ）若，求证：是的中点；
(2)【拓展】如图②，四边形是直角梯形，，，，，，求的长．

4 . 综合与实践
数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

   

(1)问题发现：如图1，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边，分别交于E、F两点，则线段与的数量关系是______；
(2)拓展探究：如图2，将一个足够大的三角板的角（）顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两边与，的延长线分别交于E、F两点，当时，试确定与的数量关系，并说明理由；
(3)类比提升：如图3，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两直角边与，分别交于E、F两点，请直接写出线段与的数量关系（无需证明）．

5 . 类比探究题：
【建立模型】
如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】
如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】
如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由．

6 . 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形都是正方形．
（1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若，，，则__________；
（3）连接，如图3，则与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．

7 . 如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接．

【尝试初探】
（1）求证：；
【深入探究】
（2）若R为中点，求的值；
【拓展延伸】
（3）①若，是等腰三角形，求的值；
②若D，F，G三点共线，连接，求的值．

8 . （1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．

9 . 综合与实践
如图，是的切线，为切点，是圆上与不重合的两点．

问题解决
（1）如图1，若是直径，，则________．
问题探究
（2）如图2，当为上任意一点时，与有怎样的关系?并加以证明．
拓展运用
（3）如图3，的半径是2，，求的大小．

10 . 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答：
如图，在矩形中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点P，连接．

(1)初步探究
①如图1，若垂直平分，分别交，于点G，H，当落在上时，______，的长度为______．
②如图2，当落在对角线上时，点到的距离为______．
(2)深入探究
如图3，若，请用含x的代数式表示的值．
(3)拓展探究
若与矩形的对角线垂直，请直接写出的长．