1 . 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动．
第一步：每人制作边长都为7的菱形纸片若干个，四个顶点为A、B、C、D(为保持一致，活动中， 小组内制作图形各点名称命名规则相同)；
第二步∶在边上分别取点M、N(不含端点)，将四边形 沿翻折，使线段的对应线段经过顶点 D(点A、B分别与点 E、F对应)．
操作判断

（1）智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形，若则______．
迁移探究
（2）缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示，已知求的长；
拓展延伸
（3）创新小组按上述步骤折叠后，要使是以为直角边的直角三角形，请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形（草图即可），并求出对应的的长．

2 . 直观感知：
（）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数；
类比探究：
（）如图，在四边形中，，，，，，求的长．
拓展运用：
（）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值．

3 . 【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．

（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．

4 . 综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．

证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠， ∴， ① ， 又∵， ∴， ∴． 由题意可知E是的中点，设（个单位），， 则， 在中，可列方程： ② ，（方程不要求化简） 解得： ③ ，即H是边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点G；
第3步：过点G折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①：______，②：______，③：______；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
如图3，在菱形中，，，E是上的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长．

5 . 【初建模型】（1）如图①，和都是等腰三角形，，，连接．求证：．分析：要证明，我们可以通过        （只填序号）的方法证明和全等即可．
①   ②   ③   ④
【类比探究】（2）如图②，和都是等腰直角三角形，，连接．请你写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（3）如图③，在图②的基础上，延长，交于点F，交的延长线于点G，求的值．
   

6 . 折纸是--种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形?答：______．

（2）深入探究

继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，，延长交于点M，连接．

①的度数为______；

②猜想线段和的数量关系，并证明：

拓展应用

延长交矩形的边于点N，若，，直接写出的值．

7 . 综合与实践
数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

   

(1)问题发现：如图1，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边，分别交于E、F两点，则线段与的数量关系是______；
(2)拓展探究：如图2，将一个足够大的三角板的角（）顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两边与，的延长线分别交于E、F两点，当时，试确定与的数量关系，并说明理由；
(3)类比提升：如图3，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两直角边与，分别交于E、F两点，请直接写出线段与的数量关系（无需证明）．

8 . 如图，在四边形中，点，分别在边，上．连接，，，．

(1)【实践探究】如图①，四边形是正方形．
（ⅰ）若，，求的余弦值；
（ⅱ）若，求证：是的中点；
(2)【拓展】如图②，四边形是直角梯形，，，，，，求的长．

9 . 类比探究题：
【建立模型】
如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】
如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】
如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由．

10 . 【提出问题】
如图①，在中，，点三点都在直线上，若，猜想之间的数量关系______（直接写出结论）
【类比探究】
如图②，若图①中的三个角变成任意角，其余条件不变，即，①中的结论是否成立，说明理由．
【拓展延伸】
如图③，若，且为等边三角形，求证：为等边三角形．
【学以致用】
数学兴趣小组的同学在学完相似三角形的相关知识后发现，可以类比上述思路解决与相似有关的问题，请你和他们一起完成下列问题吧．
如图④，在平行四边形中，，点是边上一点，过点作，交边于点，且，求的值．