1 . 综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．

   【观察发现】

(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．

①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．

2 . 综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点．
操作与计算
（）如图，当时，求的长．
深度思考
（）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
拓展探究
（）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积．

3 . 【问题发现】

（1）如图1所示，在等腰中，点P为底边上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若．则与的数量关系为_______；
【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰中，，点P为底边BC上一动点，在射线上取点D，作，垂足为E．若，且．请探究与的数量关系；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若，点P为线段的三等分点，请直接写出的长．

4 . 已知，如图①，四边形是矩形，对角线相交于点O，．

(1)【问题解决】
在图①中，根据给出的条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)【问题探究】
如图②，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，过点P作交于点E，连接，在点P运动的过程中试探究的大小，并写出证明过程；
(3)【拓展延伸】
如图③，在矩形中，点P是对角线上的一个动点，连接，在的左下方作，使，，在点P从点B向点D的运动过程中，猜想点Q的运动路径并求出它的长度．

5 . 【问题呈现】
（1）如图1，将直角尺的直角顶点摆放在正方形的对角线交点处，直角尺两直角边分别交正方形的边，于点，，求证：．
【问题探究】
（2）若将（1）中的正方形更换为矩形，且，如图2，判断与的等量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【问题再探究】
（3）将图2中的的顶点沿方向平移至点，若，如图3，请直接写出与的等量关系（用含，的式子表示，不需证明）．
【拓展运用】
（4）如图4，若，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．

   

6 . 综合实践
菱形中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．

【问题发现】
（1）如图，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为              ．
【类比探究】
（2）如图，当点在边上时，时，求证：
【拓展延伸】
（3）如图，点在延长线上，为中点，当，，时，设求与之间的数量关系．

7 . 和都是等腰三角形，，直线，交于点．

图1                                        图2                                图3

(1)特例发现
如图1，，，在一条直线上，当时，填空：的值是_________，_________．
(2)类比探究
如图2，当时，探究的值（用含m的式子表示）及的度数（用含的式子表示），并就图2的情形写出探究过程．
(3)拓展运用
如图3，当时；若点，，在一条直线上，延长与边，分别交于点，，且是的中点，，直接写出的长．

8 . 【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点E是上一点，连接，过点A作于F，交于点G．

   

(1)【特例证明】如图1，当时，求证：；
(2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展运用】如图3，连接，若，，求的长．

9 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系．

【操作判断】
（1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是               ；
【迁移探究】
（2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长．

10 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．

（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．