1 . 操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使与重合，得到折痕，展平纸片，连接，与交于点，连接，．则的值为________；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点在边上，连接，与交于点，连接，将绕点逆时针旋转，使点的对应点'落在对角线上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），试判断的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，．当平分时，请证明．

2 . 综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．

   

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．

   

(1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积；
(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

3 . 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接．
数学思考：

(1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________．
猜想证明：
(2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
(3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长．

4 . 综合与实践：
   
在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．

5 . 如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系．

(1)特例发现
先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：．
(2)类比探究
再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）．
(3)拓展运用
如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长．

6 . 如图，在菱形中，，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，交边于点H，设，．
【尝试初探】
（1）如图1，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，连接CF，当时，探究得出y的值为1，请写出证明过程；
【联系拓展】
（3）结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接，若，当为等腰三角形时，求的长．

7 . 课本再现：
（1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形的边长．
变式探究：
（2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且，请你探究的值．
（4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则          ．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果）

8 . 综合与实践

【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变．
（1）上述猜想中正确的有______（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由；
②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

9 . 小舟同学在复习浙教版九上93页第1题后进行变式拓展与思考，如图1，为的内接三角形，其中，请完成以下探究：
（1）【直观感受】：①请在图2中用圆规和直尺画出满足条件的所有等腰三角形；
【复习回顾】：②若的半径为，的度数为，请计算的长；
（2）如图3，连接并延长交于点，交于点，过点作于点，记，．
【思考探究】：①求与的函数关系式（不必写自变量取值范围）；
【感悟应用】：②若点为的三等分点，求．

   

10 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师将两个具有公共顶点的全等三角形按图1所示摆放，，，，．老师让各小组在此基础上展开探究．

初步探究：（1）勤奋小组将图1中的延长，分别交于点O和点F，试判断与的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）善思小组固定，将绕点B逆时针旋转，如图2，当时，与相交于点P，过点P作于点Q，试判断与的数量关系并说明理由；
拓展延伸：（3）创新小组将图1中的绕点B逆时针旋转，如图3，当时，与相交于点M，过点M作于点N．若，，请直接写出的长．