1 . 几何综合：
已知：点是边上一动点，作∽，点、点分别是边、的中点，连接、；设（常数）．
   
(1)证明推断：
若．如图①，当时，
①求证：≌；
②推断：当时，_____；
(2)类比探究：
若．如图②，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：
若．如图③，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．

2 . 问题提出
如图（1），的四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）．
问题拓展
（3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值．

3 . 已知：中，．

操作发现：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当     °时，与全等，此时与的数量关系是     ．
猜想论证：
当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．
类比探究：
如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．
拓展提升：
如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为     ．

4 . 综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，

【探索发现】
操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有．
操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________．
【探究提升】
如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形．
【拓展应用】
如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________．

5 . 问题提出
如图1，点是等腰底边上一点， 点， 在同侧，且，，取的中点， 连接并延长，交于点 ，探究与的数量关系．

   

问题探究：
（1） 先将问题特殊化， 如图，当时，直接写出与的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图1，证明（1）中的结论是否仍然成立．
问题拓展：
（3）如图， 不是等腰三角形， 点是边上的点， 连接， ， 已知于，， 且 ，直接写出 的值．

6 . 综合与实践
问题背景：
小明在研究直角三角板时，发现含有的直角三角板具有一些特殊性质，于是他做出了如下探究．
初步发现：
如图①，在中，，，作的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则______，线段，，的数量关系是________________；

深入探究：
事实上，在含的直角三角形中，两个锐角恰好是2倍关系，而对于任意一个三角形，若有两个角存在2倍关系，这样的三角形还能具有上面发现的结论吗？带着这个疑问，小明又研究了下面一个三角形，请结合小明的发现，一起探究一下吧．
如图②，在中，，，，作交于点D．

（1）求证：；
（2）求的面积；
拓展应用：
像这样的三角形，我们不妨称之为“倍半角三角形”．如图③，在菱形中，，，是对角线，点E，F分别在，上，且．

（3）若，，用含x的代数式表示y；

7 . 综合与实践：
【课堂探究】在一堂主题为“几何翻折问题的拓展与深化”的数学公开课上，王老师给同学们每个人下发了一张平行四边形纸片，并且给出了一些数据（如图1），并提出，其中平行四边形两边所成的锐角的正切值为．

【课前准备】
（1）为了课堂的顺利进行，王老师先让同学们求出了_____°；
【实践操作】数学课开始后，王老师让同学们在小组内先动手实践操作，对平行四边形进行翻折探究翻折后图形的性质．在同学们动手实践的过程中，王老师随机挑选了一个小组的操作成果（如图2）并进行展示，接着将其抽象为了一个数学问题．
（2）如图2，在（1）的条件下，点在上运动，点在上运动，点为沿着翻折后点的对应点．求证：当M是中点时，点落在边的中线上；
【思考讨论】同学们经过思考后，纷纷给出了自己对于这个问题的看法．王老师非常高兴，继续将问题进行了深入．
（3）如图3，连接，，，延长至，连接，．若，，求证：平分；
【学以致用】同学们经过本课的学习，对图形再次进行深入挖掘，在原来的基础上设问：
（4）在（3）的条件下，请直接写出的正切值．

8 . 【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．

【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是           ．
【拓展提升】
如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．

9 . 综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．

   

(1)探究发现：若，求．
(2)探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．

10 . （1）问题发现
如图1，在等边三角形中，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等边三角形，连接．填空：
①的值为________；
②的度数为________．
（2）类比探究
如图2，在等腰直角三角形中，，，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等腰直角三角形，，连接．请判断的值与的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在正方形和正方形中，，点E在对角线上，请直接写出面积的最大值及此时线段的长度．