1 . 如图1，中，点E、F分别在边上，连接交于点G，．

   

问题探究
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求证：；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中结论仍然成立；
问题拓展
（3）如图3，当时，，F为中点，直接写出的值（用含n的式子表示）．

2 . 如图1，在矩形中，，点是对角线上的一动点．

【初步探究】
（1）下表是某探究小组得出的正确结果：（部分数据被遮挡）

已知
			2

表中被遮挡的数据　　　，　　　，　　　；
【探究运用】
（2）当时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图2，的外接圆交于点，交于点，交于点，若，当时，直接写出此时的长．

3 . 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）四边形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化简整理得______．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．

【拓展应用】
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

4 . 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为           ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．

5 . 实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；

②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】

（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．

【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．

6 . 【模型定义】
如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．
【问题探究】
（1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；
   
（2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
   
【拓展延伸】
（3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．

7 . 综合与实践
在四边形中，将边绕点顺时针旋转至（），的角平分线所在直线与直线相交于点，与边或边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形，旋转角，则_____．
【类比迁移】
（2）如图2，若四边形是正方形且，试探究在旋转的过程中的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若四边形是菱形，，，在旋转的过程中，当线段与线段存在倍的关系时，请直接写出的长．

8 . 【问题提出】
如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，．

【思路探究】
“神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长．

9 . 某兴趣小组开展综合实践探究活动：
已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下：

   

【初步感知】
（1）①如图1，当点为中点时，　　　　；
②如图2，当时，　　　　；
（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长至点，使得，连接，．
，，，．
．
又，
．
又，是等边三角形．……）
【类比探究】
（2）如图3，当时，求的值；
【拓展延伸】
（3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）；
②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）．

10 . 【探究发现】
（）如图，在正方形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．
求证：；
【类比迁移】
（）如图，在矩形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．求证：；
【拓展提高】
（）如图，在菱形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．若，求的长．