6 . 初识图形
（1）如图1，E、F分别为正方形的边和边上的点，连接、，且．则      ．

（2）如图2，矩形中，点E、F分别在边、上，连接、，且，，，则       ．

类比探究
（3）如图3，中，D、F分别为、边上的点，，，，连接，交于点E．求长．请说明理由．

拓展应用
（4）如图4，在矩形中，E、F分别为和边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，交于P和Q，A和B的翻折后的位置分别是H和G．，，，．请直接写出折痕的长．

7 . 如图1是一种跑步机，图2是其侧面示意图，由跑带、连杆、扶手和显示屏组成，其中的角度固定，跑步者可根据自己的身高，通过绕点转动扶手调节跑步时的舒适度，量得，，，．

(1)当，时，求点到地面的距离；
(2)在（1）中的条件下，若将绕点逆时针旋转，求，两点之间增加的铅垂宽度．
（参考数据：，，，，结果精确到）

8 . 如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．

(1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．
(2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．

10 . 已知，如图，将抛物线，，，，（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与轴交于点，，，，，，．

(1)①抛物线的顶点坐标为______；
②该“系列抛物线”的顶点在______上；
③与轴的两交点之间的距离是______．
(2)是否存在整数，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？
(3)以的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：的面积是否会随着的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由．