解题方法
1 . 对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.
（1）数列{an}的通项公式
（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
（1）数列{an}的通项公式
（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
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2020-07-25更新
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1018次组卷
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4卷引用：2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题
2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题江苏省扬州市2020届高三（5月份）高考数学模拟试题（已下线）专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）
2 . 如果整数
，证明：
.
，证明：.
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19-20高三上·江苏南通·期末
3 . 已知等差数列
的前n项和为Sn，若
为等差数列，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数
， 使
成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列
满足
，
，且对任意的
，都有
，求正整数k的最小值．
的前n项和为Sn，若为等差数列，且．（1）求数列
的通项公式；（2）是否存在正整数
， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列
满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．
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2019-01-31更新
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1513次组卷
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3卷引用：【市级联考】江苏省如皋市2019届高三第一学期期末教学质量调研数学试题
4 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列
进行“A型扩展”，第一次得到数列
：第二次得到数列
设第次“A型扩展”后所得数列为
（其中
），并记
；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列
；第二次得到数列
设第次“B型扩展”后所得数列为
（其中），当
时，记
.
(1)当
时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
(2)当时，求数列
的通项公式；
(3)是否存在一个项数为
的数列
，记
的各项和为
，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列
，记
各项和为
，使得
成立.（其中，
是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.
进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.(1)当
时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；(2)当
时，求数列的通项公式；(3)是否存在一个项数为
的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.
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2024-08-24更新
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343次组卷
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3卷引用：湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试卷
5 . 已知数列的各项均为正数，其前n项的积为
，记
，
.
（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.
（2）若，
，且
①求数列的通项公式.
②记
，那么数列
中是否存在两项
，（s，t均为正偶数，且
），使得数列
，
，
，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.
的各项均为正数，其前n项的积为，记，.（1）若数列
为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.（2）若
，，且①求数列
的通项公式.②记
，那么数列中是否存在两项，（s，t均为正偶数，且），使得数列，，，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.
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2020-05-14更新
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1018次组卷
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5卷引用：2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题
2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题江苏省连云港市赣榆区智贤中学2020届高三下学期高考适应性考试数学试题（已下线）专题20 数列的综合-2020年高考数学母题题源解密（江苏专版）（已下线）专题7 等比数列的性质 微点3 等比数列的性质综合训练（已下线）专题10 数列通项公式的求法 微点5 构造法
2022高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 在平面直角坐标系
中， 
轴正半轴上的点列
与曲线
上的点列
满足
，直线
在x轴上的截距为.点
的横坐标为
，
.
（1）证明>
>4，；
（2）证明有
，使得对
都有
<
.
中， 轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为，.（1）证明
>>4，；（2）证明有
，使得对都有<.
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7 . 已知数列，，满足：
，
．
（1）若是等差数列，且公差
，求数列的通项公式
；
（2）若、均是等差数列，且数列的公差
，
，求数列的通项公式．
，，满足：，．（1）若
是等差数列，且公差，求数列的通项公式；（2）若
、均是等差数列，且数列的公差，，求数列的通项公式．
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解题方法
8 . 定义：符号
表示实数
、
、
中最大的一个数；
表示、、中最小的一个数. 如，
，
.设
是一个给定的正整数
，数列共有项，记
，
.由
的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若
，则
.理由：，则
.又
，
，于是，有.试解答下列问题：
（1）若数列的通项公式为
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，
，求通项公式；
（3）试构造项数为的数列，满足
，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列
是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
表示实数、、中最大的一个数；表示、、中最小的一个数. 如，，.设是一个给定的正整数，数列共有项，记， .由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，，于是，有.试解答下列问题：（1）若数列
的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列
满足，，求通项公式；（3）试构造项数为
的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
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名校
解题方法
9 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为
数列.
（1）若的前项和
，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列
是首项为
、公差为
的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为
、公比为
的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为
，
，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若
且
，则不是数列”.
，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若
的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；（2）设数列
是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列
是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.
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2020-04-07更新
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1017次组卷
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11卷引用：2020届上海市黄浦区高三一模（期末）数学试题
2020届上海市黄浦区高三一模（期末）数学试题江苏省连云港市灌云县第一中学2019-2020学年高三下学期3月线上考试数学试题2020届江苏省徐州中学、徐州一中高三下学期5月高考模拟数学试题江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期四模数学试题（已下线）专题20 数列的综合-2020年高考数学母题题源解密（江苏专版）江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟(四)数学试题江苏省苏州大学2020届高三下学期高考考前指导数学试题（已下线）预测07 数列-【临门一脚】2020年高考数学三轮冲刺过关(江苏专用)（已下线）第4章 数列(培优卷)-2021-2022学年高二数学新教材单元双测卷（苏教版2019选择性必修第一册）上海市八校联考2023届高三上学期开学考试数学试题2024届江苏省南京东山外国语学校高考三模数学试卷
10 . 已知空间向量列
，如果对于任意的正整数，均有
，则称此空间向量列为“等差向量列”，
称为“公差向量”；空间向量列
，如果
且对于任意的正整数，均有
，
，则称此空间向量列
为“等比向量列”，常数称为“公比”．
(1)若是“等比向量列”，
为单位向量，求
（用表示）；
(2)若是“等差向量列”，“公差向量”
，
，
；是“等比向量列”，“公比”
，
，
．求
．
(3)若是“等差向量列”，，记
，
且
，等式
对于
和2均成立，且
，求
的最大值．
，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．(1)若
是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）；(2)若
是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．(3)若
是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值．
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