1 . 双曲线过点，且离心率为，过点的动直线与双曲线相交于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.

3 . 已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点．
(1)求，的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F．

5 . 点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

6 . 已知分别为双曲线的左､右顶点，为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上异于点的另一点，当点坐标为时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，直线交双曲线的右支于点，判断直线与直线的交点是否在一条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

7 . 双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

8 . 已知双曲线的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于点，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

9 . 已知双曲线的左顶点为，点在渐近线上，过点的直线交双曲线的右支于两点，直线分别交直线于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：为的中点.

10 . 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．