2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知双曲线
的离心率为
，左、右焦点分别为
，第一象限的点
为双曲线
上一点，若
的平分线与
轴交于点
，且
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过
作直线
的垂线，垂足为
，若四边形
的面积为
，
的面积为
，求
的取值范围．
的离心率为，左、右焦点分别为，第一象限的点为双曲线上一点，若的平分线与轴交于点，且．(1)求双曲线
的标准方程；(2)过
作直线的垂线，垂足为，若四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
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解题方法
2 . 双曲线C：
的离心率为
，点
在C上.
(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
的离心率为，点在C上.(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
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解题方法
3 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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解题方法
4 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为
.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，
，过，作双曲线的切线
，
，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线
与交于点M，直线
交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 已知双曲线C：
的一条渐近线与直线
平行，且双曲线焦距为
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
，
，过点B且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线
分别与直线
交于点P，Q，求
的值．
的一条渐近线与直线平行，且双曲线焦距为.(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点
，，过点B且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线分别与直线交于点P，Q，求的值．
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解题方法
6 . 已知双曲线
的焦距为
，过点
的直线
与
交于A，B两点，且当与轴平行时，
．
(1)求的方程；
(2)记的右顶点为
，若点A，B均在的左支上，直线AT，BT分别与
轴交于点M，N，且
，
，求
的取值范围．
的焦距为，过点的直线与交于A，B两点，且当与轴平行时，．(1)求
的方程；(2)记
的右顶点为，若点A，B均在的左支上，直线AT，BT分别与轴交于点M，N，且，，求的取值范围．
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解题方法
7 . 双曲线C：
的左、右焦点分别为、
，过且倾斜角为
的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为
．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l与C的左、右两支分别交于
两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得
．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为．(1)求C的方程；
(2)若过点
的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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解题方法
8 . 已知点
为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线
且交双曲线右支于
两点，直线
分别交该双曲线斜率为正的渐近线于
两点，设四边形
和三角形
的面积分别为和，求的取值范围.
为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线
且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.
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名校
解题方法
9 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，
是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为
，且
.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知过点
的直线交于
两点（异于A，B），直线
与直线
交于点
.求证:点在定直线上.
的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.(1)求双曲线
的方程;(2)已知过点
的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上.
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名校
解题方法
10 . 已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为
，且
，双曲线的一条渐近线方程为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点
的直线与双曲线右支交于
两点，点在线段
上，若存在实数
且
，使得
，证明：直线
的斜率为定值.
的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)已知过点
的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.
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