2024·全国·模拟预测
1 . 已知
为坐标原点，抛物线
上一点
到其准线的距离为3．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)设直线
，点
是
与
轴的交点，过点
作与平行的直线
，过点
的动直线
与抛物线相交于
两点（不与原点重合），直线
分别交直线于点
，证明：
.
为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3．(1)求抛物线
的标准方程；(2)设直线
，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线分别交直线于点，证明：.
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2 . 已知抛物线的焦点
在
轴的正半轴上，顶点是坐标原点
是圆
与的一个交点，
是上的动点，且
在轴两侧，直线
与圆相切，线段
线段
分别与圆相交于点
.
(1)求的方程；
(2)
的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
的焦点在轴的正半轴上，顶点是坐标原点是圆与的一个交点，是上的动点，且在轴两侧，直线与圆相切，线段线段分别与圆相交于点.(1)求
的方程；(2)
的面积是否存在最大值？若存在，求使的面积取得最大值的直线的方程；若不存在，请说明理由.
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3 . 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，
为上一点，
.
(1)求的方程；
(2)若
是上异于点的两个动点，且点不关于轴对称，
，过点
作轴的垂线交直线
于点
，记
的面积为
，
的面积为
，求
.
为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，.(1)求
的方程；(2)若
是上异于点的两个动点，且点不关于轴对称，，过点作轴的垂线交直线于点，记的面积为，的面积为，求.
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解题方法
4 . 已知抛物线
的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为
时，
，
．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：直线
是
的外角平分线．
的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为时，，．(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：直线
是的外角平分线．
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5 . 如图，已知M是抛物线C：
（
）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的
，且
，l为抛物线C的准线，O为原点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线.
（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点.(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线.
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6 . 如图，已知抛物线的方程为
，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为
，与抛物线交于点
，已知
，
，
.
(1)求
的值；
(2)斜率为
的直线过点
，且与曲线交于不同的两点，，若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.(1)求
的值；(2)斜率为
的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
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7 . 已知抛物线
的焦点为，过点倾斜角为
的直线交抛物线与两点.点在轴上方，点在轴下方.
(1)求证：
；
(2)若
，试求
的取值范围；
(3)如图，过焦点作互相垂直的弦
，若
与
的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.
的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线与两点.点在轴上方，点在轴下方.(1)求证：
；(2)若
，试求的取值范围；(3)如图，过焦点
作互相垂直的弦，若与的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.
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名校
解题方法
8 . 已知抛物线的焦点为，点
在抛物线上，且
.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点
满足
，求直线的方程.
的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线
的方程，并写出焦点坐标；(2)过焦点
的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
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2024-01-18更新
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467次组卷
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2卷引用：云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
9 . 已知抛物线
上的点
与
的距离
.
(1)求抛物线E方程；
(2)若
，直线与抛物线交于两点，P为抛物线上不同于的动点，直线
，
分别交直线
于M，N两点，且M，N的纵坐标之积为
，直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由.
上的点与的距离.(1)求抛物线E方程；
(2)若
，直线与抛物线交于两点，P为抛物线上不同于的动点，直线，分别交直线于M，N两点，且M，N的纵坐标之积为，直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由.
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名校
解题方法
10 . 与x轴不垂直的直线交抛物线T：
于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段
的垂直平分线交x轴于点
，已知
,且有
(1)求抛物线T的方程;
(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长
分别交抛物线T于C、D；G、H分别为
的中点，求
的最小值 .
交抛物线T：于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段的垂直平分线交x轴于点，已知,且有(1)求抛物线T的方程;
(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长
分别交抛物线T于C、D；G、H分别为的中点，求的最小值 .
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